La sezione Aurea
Se andiamo a spulciare la successione di Fibonacci si scoprono cose interessanti. La sezione Aurea è una di queste. Se calcoliamo il rapporto fra numeri successivi della sequenza di Fibonacci Fib (n + 1) / Fib (n) notiamo un curioso comportamento: il rapporto oscilla tra due numeri molto vicini ma non diviene mai uguale.
| 1/1 | 1 |
| 2/1 | 2 |
| 3/2 | 1,5 |
| 5/3 | 1,6666666667 |
| 8/5 | 1,6000000000 |
| 13/8 | 1,6250000000 |
| 21/13 | 1,6153846154 |
| 34/21 | 1,6190476190 |
| 55/34 | 1,6176470588 |
| 89/55 | 1,6181818182 |
| 144/89 | 1,6179775281 |
| 233/144 | 1,6180555556 |
Graficamente
Dato che i numeri di Fibonacci sono infiniti il loro rapporto sarà anch’esso infinito. Per un numero di Fibonacci che tende all’infinito potremo trovare un valore limite, che indicheremo come fanno i matematici con Φ (Fi).
Detto in altro modo possiamo calcolare Φ come il limite per n che tende all’infinito del rapporto fra Fib (n + 1) e Fib (n) (dove Fib (n) è l’ennesimo numero di Fibonacci).
Matematicamente
si può dimostrare che il valore di Φ è uguale a 1 sommato alla radice quadrata di 5, il tutto diviso per 2, che da un valore numerico di circa 1,618. Una semplice dimostrazione è la lettura del grafico e relativi valori calcolati in un foglio di calcolo di libre office (calc) riportati più sopra.
Ma volendo andar a vedere la formula matematica possiamo scrivere: Fib (n + 1) / Fib (n), ma Fib (n+1) (il prossimo numero della sequenza) per definizione è uguale alla somma dei due numeri precedenti, cioè Fib (n) (il numero attuale) + Fib (n -1) (quello precedente) quindi Fib (n +1) / Fib (n) = Fib (n) + Fib (n – 1) / Fib (n) che è uguale a 1 + Fib (n – 1) / Fib (n) allora Fib (n + 1) / Fib (n) = 1 + Fib (n – 1) / Fib (n)
Per numeri n molto grandi Fib (n + 1) / Fib (n) ≈ Φ e Fib (n – 1) / Fib (n) ≈ 1 / Φ. Quindi, dopo tanto ragionamento, possiamo trasformare l’equazione precedente in Φ = 1 / Φ + 1.
Semplifichiamo moltiplicando entrambi i termini per Φ Φ x Φ=1 + Φ uguagliando a zero Φ² – Φ – 1 = 0 è un’equazione di secondo grado come aX² + bX + c = 0 che normalmente si risolve X= -b² ± √b²-4ac.
Ovvero, nel nostro caso Φ = (1 ± √1+4) / 2 la cui soluzione positiva è (la negativa non ci serve) Φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 la sezione Aurea. Dalla formula Φ = 1 / Φ + 1 si ricava facilmente l’inverso di Φ 1 / Φ = Φ – 1 ≈ 1,618 – 1 ≈ 0,618.
Quest’ultimo valore è noto anche nell’arte e nell’architettura perché consente, di ottenere figure ben proporzionate.
Giancarlo