La successione di Fibonacci.

Voglio affrontare un argomento di matematica che mi ha sempre appassionato: la successione di Fibonacci. E’ una serie di numeri particolare, scoperta studiando il comportamento animale, che può spiegare molti affascinanti aspetti della natura e le regole sottostanti.

L’ha scoperta un Pisano, Leonardo Pisano detto il Fibonacci, perché figlio di Guglielmo dei Bonacci nel tredicesimo secolo. Fibonacci era un commerciante che recatosi nel mondo arabo ne apprese e ne sviluppò nozioni matematiche allora sconosciute in Europa.

Ma qual’è questa successione e perché è così interessante?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 56, … all’infinito.

E’ interessante perché, a parte i primi due numeri gli altri si ottengono sommando i due precedenti. La serie è infinita. Una successione è una sequenza di numeri, successivi ovviamente, legati tra loro in modo particolare, per cui si può definirne il primo, il secondo, il terzo ed in generale l’ennesimo termine nello stesso modo generale. (Maggiori informazioni su wikipedia cliccando qui o in fondo all’articolo).

Perché il Fibonacci mi si piccò su questa successione?

Dicono che volesse conoscere quanti conigli si potessero avere da una coppia nel giro di un anno, forse lo voleva sapere perché amante dello stufato, forse per fornire la minima scorta iniziale alle navi dei commercianti Pisani, forse perché a Pisa nel tredicesimo secolo non avevano niente altro da fare, mah, chissà.

Fatto sta che scoprì questa successione e ne scrisse a proposito, ed eccoci qui a ricordarlo, come è giusto che sia per chi ha fatto qualcosa di grande.

La domanda che si pose Fibonacci, forse, era la seguente:

Se poniamo in un’area chiusa due conigli, che succede?

Beh prima di provare a rispondere chiariamo qualche regola altrimenti non andremo lontano, ed il percorso di questi numeri è lungo, anzi infinito.

I conigli nascono, nel primo mese crescono e nel secondo diventano sessualmente attivi e si accoppiano e si riproducono. Quindi procreano solo al secondo mese, poi lo fanno regolarmente ogni mese seguente. I conigli sono sempre accoppiati. Nascono e vivono in coppia. I conigli non muoiono mai. I conigli non mangiano, ne vengono mangiati.

In questo ideale mondo coniglio vediamo che succede.

Iniziamo il primo di gennaio 2014 con una bella coppia di conigli già adulti [1], dopo un mese il primo di Febbraio danno alla luce una nuova coppia di coniglietti [1,1]  il primo di Marzo la prima coppia mette al mondo una seconda coppia di coniglietti ed abbiamo due coppie di conigli fertili perché la seconda è cresciuta, ed una giovane [1,1,2] in un mese, il primo di Aprile, avremo la nascita di altre due coppie  mentre quelle mature saranno tre [1,1,2,3].

Passa un mese ed il primo Maggio, ancorché festa del lavoro, nasceranno tre nuove coppie e quelle sessualmente attive saranno cinque. [1,1,2,3,5]. Il primo Giugno anche queste tre nuove coppie si aggiungeranno alle cinque riproduttive mentre cinque nuove coppie nasceranno.[1,1,2,3,5,8]. A Luglio, passato metà anno, nasceranno otto nuove coppie da quelle mature e le cinque giovani passeranno la pubertà [1,1,2,3,5,8,13] Ad Agosto nasceranno ventun coppie e tredici saranno pronte per la sfida sessuale. [1,1,2,3,5,8,13,21]. A settembre saranno tanti. [1,1,2,3,5,8,13,21,34]. Ad Ottobre ancor di più. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55]. a Novembre si fatica a tener di conto. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89].

Eppoi, finalmente, a Dicembre si passa abbondantemente il centinaio di coppie di conigli fertili con quasi un centinaio di coniglietti al seguito. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144]. Ma l’anno non è finito ci manca un mese ed il primo Gennaio del 2015 avremo ottenuto dai nostri sforzi un mucchio di conigli saltellanti. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233]. Dove li metteremo!

Quindi ogni mese nasceranno

Quindi ogni mese nasceranno nuove coppie quante coppie sessualmente attive c’erano il mese precedente, mentre la popolazione in grado di riprodursi si accrescerà del numero di coppie giovani del mese prima.

Non è fantastica la progressione di questa serie di numeri? Pensate al secondo anno quanti conigli avremo (e sono tutte coppie), ed in un decennio? Saranno stati sufficienti per le mire del nostro caro Leonardo Pisano? Non lo sapremo mai, per intanto sappiamo qualcosa in più sulla matematica, sulle successioni eccetera.

Quindi, per concludere in qualche modo questa avventura: la successione Fibonacci sF(n), dati i due numeri iniziali sF(1) = 1 e sF(2) = 1, è generalizzabile per i numeri successivi come sF(n) = sF(n-1) + sF(n-2).

I numeri di questa successione sono ricorsivi.

Ma abbiamo visto solo l’inizio, siamo ancora al “carissimi amici”, ne riparleremo… se potremo, se vorremo, se…

Giancarlo