Il Barbiere

Sono stato nel piccolo paese di Capraia nell’omonima isola di Capraia. Immersa nel Tirreno e nel parco naturale dell’arcipelago Toscano. A Capraia, son venuto a sapere, che vi è un solo barbiere. L’ho incontrato anche al bar, è un uomo minuto, ben curato e ben sbarbato. Egli mi ha detto, tra l’altro, di radere solo e tutti gli uomini del paese che non si radono da soli. Riflettendoci mi sono chiesto se il barbiere rada se stesso? »

Paradossi.

Beh, io sono di Bucine e non conosco bene Capraia, ma se lo facesse verrebbe meno alla premessa di radere solo quelli che non si radono da soli. Lui, infatti, si raderebbe da solo. Ma se non lo facesse ci dovrebbe essere un altro barbiere a Capraia. Lui non sarebbe il solo barbiere. Neppure raderebbe tutti quelli che, sull’isola, non si radono da soli.

Sono caduto in una trappola?

No è il famoso paradosso del barbiere. La contraddizione che si esplicita nell’enunciato del problema. Deriva, diciamo che è una versione più semplice, dell’antinomia di Russell.

Bertrand Russell, famoso filosofo Inglese, la enunciò all’inizio del secolo scorso, rivoluzionando le conoscenze logico matematiche del tempo.

L’antinomia di Russell deriva dal tentativo di un matematico illustre del tempo, Gottlob Frege, di rifondare la matematica dal punto di vista della logica. Frege aveva già pubblicato il primo volume dei suoi Principî dell’aritmetica, in cui procedeva alla vera e propria “logicizzazione” della matematica, quando Russell gli scrisse una lettera. Enunciando l’antinomia in cui era incappato leggendo quel primo volume. Frege, che aveva in stampa il secondo volume non poté che riportare, in appendice, la scoperta di Russell. Scusandosi, non per aver commesso lui degli errori, ma perché risultava impossibile ridurre la matematica alla logica.

Il pardosso di Russell si applica nel campo degli insiemi  di Cantor, che per definizione possono essere definiti liberamente.

Pensiamo, come fece il nostro Russell, di dividere gli insiemi in due categorie distinte:

1. Gli insiemi che tra i loro elementi hanno loro stessi. Cioè gli insiemi che appartengono a sé stessi. Ad esempio chiamando “breve” l”insieme di tutte le cose che hanno un nome breve. Che appartiene a sé stesso perché, a sua volta, ha un nome breve.  Composto di solo 5 lettere “breve” è certamente un nome breve.
2. Gli insiemi che tra i loro elementi non hanno loro stessi. Cioè gli insiemi che non appartengono a sé stessi. Ad esempio, chiamando “lungo” l’insieme delle cose dal nome lungo. Composto sempre di 5 lettere, non possiamo certo definire “lungo” un nome lungo.

A questo punto se riusciamo a definire più insiemi che rispondono al secondo requisito possiamo definire un’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi. Che chiameremo Russell o, più brevemente “R”. Il problema posto da Russell fu se questo nuovo insieme appartenesse o meno a sé stesso.

Supponendo che vi appartenga, si avrebbe che:

• R appartiene a sé stesso.
• Quindi R soddisfa la definizione che ne abbiamo appena dato.
• Ma R, per la definizione che ne abbiamo dato al momento della sua creazione, deve essere uno degli “insiemi che non appartengono a sé stessi”.
• Quindi R non appartiene a sé stesso. Il che contraddice quanto appena supposto nel primo enunciato.

Partendo invece dall’affermazione contraria, cioè supponendo che R non appartenga a sé stesso, si avrebbe che:

• R non appartiene a sé stesso;
• Quindi R non soddisfa la definizione;
• R, pertanto, non è uno degli “insiemi che non appartengono a sé stessi”;
• Quindi R deve essere un insieme “che appartiene a sé stesso”, il che contraddice il primo enunciato.

In sintesi, il paradosso di Russell si può enunciare così: l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi appartiene a sé stesso se, e solo se, non appartiene a sé stesso. Ovvero se appartiene ad un livello di insiemi superiore.

Il Bibliotecario di Capraia

Il paradosso del bibliotecario è un’altra versione del paradosso di Russell dovuta al logico matematico norvegese Thoralf Skolem.

Qui il responsabile di una grande biblioteca (di Capraia?) comincia a catalogare ogni libro presente. Utilizzando diversi argomenti: autore, titolo, anno di edizione, pagine, casa editrice ecc. Dato il gran numero di cataloghi prodotti, si rende necessaria una catalogazione dei cataloghi stessi. Per una migliore fruizione degli stessi. Nella catalogazione di questi cataloghi definisce un criterio. I cataloghi che catalogano anche se stessi. Es. il catalogo dei volumi con meno di 100 pagine. I cataloghi che non includono loro stessi nella lista dei cataloghi catalogati. Per una catalogazione esaustiva il bibliotecario giunge a fare il catalogo di tutti i cataloghi. Comprensivo della lista di tutti i cataloghi che riportano se stessi e di tutti i cataloghi che non riportano se stessi.

Ma, a questo punto della catalogazione il bibliotecario non riesce a definire se in quest’ultimo catalogo dovrà o meno riportare questo stesso catalogo in elenco, ed abbandona l’impresa.

Capraia è un’isola meravigliosa.

Commenti?

Giancarlo