I numeri di Fermat

I numeri di Fermat

Il grande matematico Pierre de Fermat ha dato molto alla matematica.

Molte delle sue intuizioni sono state poi confermate dal tempo, ma oggi voglio parlarvi di una congettura che è stata invece smentita.

Fermat scoprì una relazione tra numeri che lo portò ad individuare una serie particolare che lui riteneva essere composta solo da numeri primi.

La forma è la seguente:

In effetti calcolando¹ i primi cinque numeri si trovano solo numeri primi:

F₀ = 3

F₁ = 5

F₂ = 17

F₃ = 257

F₄ = 65 537

Per F5 F6… ecc. era, a quel tempo, difficile controllare la primalità.

Solo Eulero, decine di anni dopo riuscì a dimostrare che il sesto numero di Fermat non era primo falsificando così la sua congettura.

Per ora, siamo alla fattorizzazione 15, non è stato trovato nessun altro numero di Fermat che sia primo.

Si ritiene che i numeri di Fermat primi siano in numero finito, forse solo i cinque da lui trovati.

Proprietà

Nonostante la smentita della congettura i numeri di Fermat hanno delle proprietà molto interessanti.

Sono tutti interi dispari, (perché al numero naturale, sempre pari per l’elevazione a potenza di due) si aggiunge uno).

Sono infiniti (perché al numero naturale si aggiunge sempre uno).

Poiché sono infiniti anche i numeri primi sono infiniti (ogni numero primo divide al massimo un numero di Fermat, quindi devono esistere infiniti primi).

A coppie sono coprimi (cioè numeri consecutivi che non hanno nessun divisore che divida entrambi, vedi congettura di Goldbach).

Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi (ad eccezione di F₁=5=2+3 poiché, oltre il numero 2, tutti i primi sono tutti dispari e la somma di due dispari, due primi, da pari).

Sperando di aver stimolato in voi qualche curiosità.

Giancarlo