Numeri triangolari, numeri che portano lontano.

Numeri triangolari

Ieri non vi ho parlato dei numeri triangolari ma di quelli quadrati; i quadrati sono più difficili. Comunque i numeri triangolari sono anch’essi, in matematica, numeri poligonali rappresentabili in forma di triangolo. Su una griglia sono disposti triangolarmente.

Il successivo numero triangolare si calcola con la formula di Gauss

$<img decoding="async" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/2/a/b2a4efdd0f2ec69fe3d24fef90069c6f.png" alt="T_n = \frac{n(n+1)} {2} ." width="127" height="43">$

Quindi il sesto numero triangolare sarà 6(6+1)/2 –> 6×7/2 –> 42/2 –>21; si moltiplicano due numeri successivi e si divide per due, perché è intuitivo, anche graficamente:

Si accoppiano due triangoli uguali si ottiene un rettangolo con un lato lungo come l’indice del numero triangolare e l’altro aumentato di uno. Dividendo per due si ottiene l’ennesimo numero triangolare.

Come abbiamo visto ieri nei numeri quadrati, la somma di due triangolari successivi è un numero quadrato.

Ma che bello trovare proprietà comuni ai numeri, a numeri diversi:

esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in $<img decoding="async" src="http://upload.wikimedia.org/math/7/6/f/76fc9711714b0c0352174d362ca724f7.png" alt="20 = 10 + 10" width="108" height="16">$ ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
la somma dei primi $<img decoding="async" src="http://upload.wikimedia.org/math/e/4/8/e4861b707ff550ef16e31580a5206c7e.png" alt="n\ " width="12" height="9">$ numeri triangolari è pari all’n-esimo numero tetraedrico;
l’n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per $<img decoding="async" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/b/4/2b4b25ae28db33e59b9f6fef6fd5bcee.png" alt="3n - 1" width="55" height="15">$ ; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
la differenza tra l’n-esimo numero m-gonale e l’n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.
T_{a+b} = T_{a} + T_{b} + ab (somma di triangolari);
T_{ab} = T_{a}T_{b} + T_{a-1}T_{b-1}, (prodotto di questi triangolari); tutti i numeri perfetti sono triangolari;
i reciproci di questi numeri formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2;
il quadrato dell’n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi n\ cubi: $<img decoding="async" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/8/c/38c16d04951098ee9289d3707de8be50.png" alt="T_n^2 = \sum_{k=1}^n k^3" width="98" height="50">$ Questo risultato è noto sotto il nome di teorema di Nicomaco.
i numeri triangolari si susseguono sempre alternando due numeri dispari a due numeri pari.

Poi esistono anche i numeri triangolari centrati, come erano centrati i numeri quadrati di ieri. Si calcolano con la formula

$<img decoding="async" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/b/d/bbdbe3fa12e75ba2108e6f56ff42ab6c.png" alt="{3n^2 - 3n + 2} \over 2" width="109" height="43">$

E si rappresentano così:

I primi numeri triangolari centrati sono:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971

Ogni numero triangolare centrato dal 10 in poi è la somma di tre numeri triangolari regolari consecutivi. Inoltre, ogni numero triangolare centrato ha resto 1 se diviso per tre e il quoziente è il numero triangolare regolare precedente.

Sommando i primi n numeri triangolari centrati si ottiene la costante di un quadrato magico di lato n (con n > 2).

Insomma che volete di più?

Beh, i numeri triangolari, in genere, ma anche tutti gli altri numeri poligonali, sono stati i primi numeri studiati algebricamente, i Fenici li usavano per calcolare i terreni e giocando, giocando… con i numeri si arriva lontano.

Enjoy

Giancarlo