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Un numero sbagliato

Un numero sbagliato.

Ma può esistere un numero sbagliato?

Noooo! I numeri sono giusti per definizione. Se non fossero giusti non esisterebbero.

Uno più uno fa due, uno più due fa tre, tre più uno quattro e così via. Non c’è errore, non c’è inganno.

Ma possiamo anche contare in un altro modo, aggiungendo il numero precedente all’ultimo sommato, così: uno, uno (0+1), due (1+1), tre (1+2), cinque (2+3), otto (3+5) ecc. come fece Fibonacci.

A qualcun piace giocare con i quadrati: uno, quattro, nove, sedici, venticinque, trentasei, quarantanove e sessantaquattro come nel gioco degli scacchi.

Possiamo anche, solo, raddoppiare: uno, due, quattro, otto, sedici, trentadue, sessantaquattro, come i bit degli informatici.

E non scordiamoci i cubi: uno, otto, ventisette, sessantaquattro, centoventicinque e avanti fino a quando vogliamo.

Si, continuiamo finché si vuole. Si può fare perché meno male che i numeri sono infiniti e così le loro infinite combinazioni.

Come la lista dei numeri primi, quella seguente:

A una cifra

  • 2
  • 3
  • 5
  • 7

A due cifre

  • 11
  • 13
  • 17
  • 19
  • 23
  • 29
  • 31
  • 37
  • 41
  • 43
  • 47
  • 53
  • 59
  • 61
  • 67
  • 71
  • 73
  • 79
  • 83
  • 89
  • 97

Ora poiché di numeri ne esistono molti, possiamo anche classificarli, se ci fa comodo:

Allora ecco la lista dei numeri

 

  1. Naturali 
  2. Interi relativi 
  3. Razionali 
  4. Algebrici
  5. Reali 
  6. Complessi 

Possiamo notare che i numeri complessi sono compresi nei numeri reali. Mentre questi ultimi sono entro gli algebrici. Che compongono i razionali. I quali a loro volta si trovano negli interi relativi. Che, infine, sono nell’insieme dei numeri naturali. Insomma sono tutti connessi, strettamente connessi.

Una bellezza. E in tutta questa bellezza pensate seriamente che ci sia qualcosa di sbagliato?

No! Eppure “mi hai dato il numero sbagliato”.

Certo se nel tuo numero manca una cifra non torna più niente. Il numero, come dire, non funziona. Certo se la sequenza è completa ma il numero è abbinato ad un utente diverso da quello che cercavo, allora di certo il numero “è sbagliato”, almeno rispetto a chi volevo chiamare. E non riuscirò a parlarci.

Dai!

Un numero sbagliato

Ecco, l’unico numero sbagliato non poteva che essere un numero di telefono.

Giancarlo

 

Numeri perfetti

Numeri perfetti

Cosa esprime perfezione nei cosiddetti numeri perfetti?

Non è la bellezza estetica ma la perfezione ideale.

Un numero è perfetto se la somma dei suoi divisori rende il numero stesso.

Non è stato sempre così, per Speusippo, un filosofo Greco nipote di Platone, un numero perfetto diceva che per i Pitagorici 10 era il (solo) numero perfetto. Esso aveva un numero pari di numeri primi (2, 3, 5 e 7)e non primi (4, 6,8 e 9) nella sequenza da 1 al numero stesso.

I Pitagorici hanno poi allargato la loro idea di perfezione includendo i numeri amicali e quelli socievoli (Nicomaco).

I numeri con la somma dei divisori diversa dal numero stesso si definiscono abbondanti o difettivi.

Ma vediamo i numeri perfetti

Il primo è il 6.

I divisori di 6 sono 1, 2 e 3, sommandoli si ottiene ancora 6.

Il secondo perfetto è 28, i cui divisori sono 1, 2, 4, 7 e 14.

Il terzo non è così vicino ai primi due: 496: diviso da 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248.

La formula dei numeri perfetti è la seguente: 2n1∗(2n 1) dove (2n 1) è un numero primo di Mersenne.

6 si ottiene con la potenza di 2:

22-1 * (22-1) = 21 * (4-1) = 2*3=6.

Ogni numero perfetto pari è anche:

un numero triangolare

un numero esagonale

è anche un numero pratico.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all’infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.

Infatti, da 2n-1 × (2n − 1) si ha che: 2n-1 è pari e termina per 2, 4, 8, 6;

(2n − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

La cifra finale ‘5’ va scartata perché sappiamo che (2n − 1) dev’essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.

Numeri perfetti

Giancarlo

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I numeri fortunati

I numeri fortunati

I numeri fortunati sono un particolare insieme di numeri che si ottiene dalla serie dei numeri naturali.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21… applicandogli particolari crivelli (filtri), insomma selezionandoli con criterio.

La prima serie di numeri fortunati che si considera di solito è quella dei numeri fortunati di Eulero: 2, 3, 5, 11, 17 e 41, ottenuti crivellando i numeri di Eulero.

Serie di numeri primi derivati dal una forma speciale del polinomio n2 + n + p, dove n=(1,2,… p-1). Questo polinomio da solo numeri primi. Quello di Eulero è il miglior polinomio conosciuto, che da solo valori primi: n2 + n + 41, con esso si ottengono 40 primi distinti per i 40 interi consecutivi da n=0 a n=39. Serie altrimenti detta i numeri di Eulero.

Il filtro

i numeri fortunati

Se torniamo a considerare la lista dei numeri naturali, il crivello consiste nel togliere il secondo numero. Di due in due tutti gli altri numeri seguenti, togliamo tutti i numeri pari insomma.

1, , 3, , 5, , 7, , 9, , 11, , 13, , 15, , 17, , 19, , 21…

Ora poiché questa lista, con i numeri pari, è infinita e rimane tale con i soli dispari, ne scriviamo solo un po’.

Proseguiamo, adesso il secondo numero è 3, eliminando tutti i numeri terzi che lo seguono.

1, , 3, , , , 7, , 9, , , , 13, , 15, , , , 19, , 21…

Proseguiamo con il seguente numero rimasto, il 7.Togliamo tutti i settimi numeri seguenti.

1, , 3, , , , 7, , 9, , , , 13, , 15, , , , , , 21…

Ripetendo la procedura restano solo i numeri fortunati, i primi che otteniamo sono:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303,…

Con questo crivello si ottiene una lista di numeri che ha molte cose in comune con la lista dei numeri primi. La loro densità è simile, ma anche la frequenza dei numeri primi gemelli è simile a quella dei numeri fortunati gemelli.

Abbiamo anche i numeri primi fortunati, sono numeri fortunati ed anche primi. I numeri fortunati son infiniti, mentre per i primi fortunati non si sa.

Giancarlo

I nostri numeri.

I numeri

I nostri numeri ci accompagnano ovunque. Ci siamo talmente abituati che li usiamo anche senza pensarci. Anche nel linguaggio enumeriamo senza renderci conto di farlo.

Una volta, uno che conosco…”

“Prenda una pasticca, due volte al dì”

“Facciamo due passi assieme?”

“Piovve sette giorni su sette

Come siano nati i nostri numeri non si sa con certezza. Sicuramente la loro nascita è molto antica. Sicuramente sono un astrazione delle cose reali, per poterne parlare, per ricordarle, per pensarle. Sono stati inventati perché sono utili.

Nostri numeriPer logica il primo numero pensato dovrebbe essere stato il numero “uno”, il più semplice, la base su cui iniziare a contare e costruirci sopra tutti gli altri aggiungendo ancora uno. Ma potrebbe essere nato assieme il concetto di “molti”, “tanti”, “Numerosi”, “Mucchio”, “Branco”, “Gregge”, “Gruppo, “Famiglia” insomma il concetto di insieme, che racchiude e da cui poi si estrae l’individuo, l’unità.

Può darsi che il primo sistema di numerazione sia stato semplice, si contava uno e tanti; forse anche tantissimi (innumerevoli). Pochi avranno pensato ad un’infinità, come probabilmente nessuno pensava “nessuno”, o “niente” oppure “nulla”, concetti questi più recenti. Inizialmente avranno contato quello che vedevano attorno, forse le operazioni sui numeri si sono sviluppate comparando e valutando i cambiamenti, tante capre altrettanti sassi, poi le capre muoiono e si tolgono i sassi, ne nascono e se ne aggiungono, vien naturale sottrarre e sommare.

Poi forse si è visto visto che

con i numeri si poteva fare di più che sommare (contare) e sottrarre (contare indietro, togliere), si potevano contare anche le volte che si sommava uno stesso numero o che si sottraeva (moltiplicare e dividere), i numeri cominciarono ad essere interessanti per se stessi e se ne scoprirono molte proprietà: l’essere pari i dispari, multipli o sottomultipli, quadrati o radici di altri numeri, iniziava l’astrazione dei numeri.

nostri numeri
http://giancaarrigucci.altervista.org/Pagine_03/1979allafinedeltutto234.html
Con i nostri numeri si svilupparono anche differenti sistemi di numerazione, i più favoriti per i nostri numeri potrebbero essere stati quelli che si basano sulla nostra anatomia:

-Binario, uno, due, due e uno, due e due, due e due e uno, due e due e due, ecc. (si conta bene sinché i numeri sono piccoli)

-Usando le dita di una mano può esser stato inventato il sistema a base 5 Anche questa (finché i numeri non crescono troppo)

-Con due mani  vien bene a base 10

-Con anche le dita dei piedi si può arrivare a base 20.

Nostri numeri

La loro rappresentazione scritta o l’uso di abachi per contare è venuta molto dopo, come evoluzione dell’uso di piccoli sassi, conchiglie o semi.

I primi conti saranno stati fatti nella sabbia? O nella polvere? O su una parete rocciosa?

Forse solo nella testa dei nostri antenati.

Giancarlo

 

Link utili

Divertente storia dei numeri

Numeri, amare considerazioni

Numeri.

Considerazioni, amare, sui Numeri.

Numeri.

Numeri ovunque, continuamente, sempre e comunque, veri, meno veri, non veri. Ci arrivano così tanti numeri che non se ne capisce il senso.

Numeri in pubblicità:

Come per il prezzo e le caratteristiche delle cose al megaristore o all’ipertroop: telefono con processore  a 100 megahertz, 10 megawatt, 2,4,5 mega di RAM, ROM, RUM, fino ad ubriacarti. Tutto a 499€ o 49,99€ prima rata, 29,90€ al mese fino a fine anno, a soli 9,99€, 99 centesimi… alla fine chissà cosa costa quanto? Gli sconti oramai non sono mai inferiori al 50%, meglio se, oltre al primo -50% aggiungo un altro -20%, anzi -40%. Numeri vomitati su di noi a getto continuo.

Numeri in statistica:

Ogni mese nuove statistiche che parlano del trend a fine anno, basandosi su quanto rilevato nei due o tre mesi precedenti. “Ridotta la disoccupazione dello 0,3%; 0,9 su base annua, per il secondo trimestre consecutivo, ma il numero dei cercalavoro aumenta anche se la disoccupazione giovanile cresce l’occupazione è stabile con un +0,1 medio. Statistiche con previsioni mai verificate: nessuno che ti dica tre mesi fa avevamo detto che sarebbe andata così, e ci abbiamo preso in pieno o, più realisticamente, non ci abbiamo preso per niente.

Numeri nelle tasse:

Boom delle entrate +4% ma il gettito è a rischio per le gelate di questa stagione. L’IVA cresce per l’annuncio della riduzione del cuneo fiscale, che sarà fatta quando il PIL sarà finalmente a due cifre, dopo la virgola. Numeri sempre e solo numeri.
Le cifre sono sempre interpretate a favore del governo in carica senza però, mai rinfacciarle a quello precedente, perché è pur vero che a volte ritornano e non vorrete mica parlar male di uno che oggi è nella polvere ma domani potrebbe essere ancora al balcone?

Numeri in politica:

Quello che succede o succederà per le decisioni prese viene spiegato con numeri semplici, + e – significano bene e male (o male bene a secondo dell’argomento)

– tasse = bene, + gettito = bene, – costi = bene + sconto = bene,

– disoccupazione = bene, + in cerca di lavoro = bene.

Ma anche + rifugiati = male – calcio = male.

Nessuno che dica: + trasparenza = – corruzione= bene, + corruzione = – servizi = male,

– stato = + mafia = male, – pubblico = + privato = male.

Numeri e parole:

E giù numeri in fila come se piovesse, tanto prima che ci si possa ragionar sopra ce ne danno in pasto altri che dicono il contrario ma che non smentiscono mai i precedenti. Poi se qualcosa è andato storto e va proprio detto che qualcosa è andato male, si tirano in ballo la congiuntura economica, la crisi finanziaria, le torri gemelle, l’ISIS e Saddam e Putin o la concorrenza Cinese.
Tanto che il servizio sui dati statistici sembra più un bollettino di guerra che realtà numerale. E il servizio alla radio, che dovrebbe farci capire, ci disinforma.

Parole , non numeri:

A proposito della radio, di tutte le radio, parlate, gridate, sghignazzate, di quasi tutte  insomma, i loro conduttori, speaker, giornalisti, imbonitori non solo non ci spiegano più i numeri che danno, ma non sanno più nemmeno l’Italiano, non sanno coniugare i verbi, non li mettono nemmeno correttamente al plurale.
Ma se non sanno nemmeno parlare, che volete che ci raccontino oltre le favole?
Beh secondo me sanno far bene il loro mestiere che oggi non è più di informare gli ascoltatori, ma di intrattenerli e dargli compiti leggeri da fare, calcoli e ragionamenti semplici, per tenerli occupati senza stancarli, per tenergli occupata la mente e non farli pensare, che pensare fa male e pensare male è peccato.

Numeri

Conclusione (amara) sui numeri:

Ci propinano tutti dei numeri, tanti numeri, che ci frullano in testa e non li capiamo:

Non li capiamo un po per pigrizia, nostra, un po per malafede, di chi ce li fornisce.

Poi non c’è nessuno che li spieghi, che ne spieghi il significato in fatti reali, su come cambiano la, o dipendono dalla, nostra vita.

Smettiamo di prenderli per buoni, critichiamoli, scopriamone il significato.

Vedremo che un PIL da dieci anni negativo o al massimo allo zero virgola non è un dato positivo, significa che i governi che si sono succeduti hanno fallito o ci hanno ingannato, lo 0, non è un risultato negativo dovuto alla congiuntura è un disastro e, probabilmente, qualcuno ci ha lucrato e ne ha mangiato o sperperato una parte che ora non c’è più e sarà sempre più difficile da recuperare.

Che vuol dire…

Quando ci dicono che la disoccupazione è calata dello 0, nell’ultimo trimestre non è migliorato nulla, siamo nella merda proprio come prima.

Quando ci dicono che c’è stato un boom di gettito fiscale, vuol dire che ci hanno tassato di più, abbiamo pagato di più, chi paga ha pagato di più.

Quando ci raccontano che hanno recuperato miliardi di evasione non hanno incassato un soldo di quelli evasi, perché gli evasori non pagheranno una lira a meno che non ci siano sconti e vantaggi per loro, e totale impunità, ovviamente, hanno scoperto un’evasione ma non troveranno mai i soldi.

E quando ti dicono che hanno salvato la tua banca, significa che la tua banca ti ha rubato i tuoi soldi e, non contenti, anche lo stato ti ha rubato dei soldi per salvarla.

Quando si scopre uno scandalo politico economico ti hanno fottuto un casino di soldi o di libertà.

Oppure quando piangono gli hai bocciato una legge costituzionale incostituzionale, significa che ti sei preso una piccola rivincita.

Goditela.

Ceppoduro

Numeri triangolari, numeri che portano lontano.

Numeri triangolari

Ieri non vi ho parlato dei numeri triangolari ma di quelli quadrati; i quadrati sono più difficili. Comunque i numeri triangolari sono anch’essi, in matematica, numeri poligonali rappresentabili in forma di triangolo. Su una griglia sono disposti triangolarmente.Numeri triangolari

 

Il successivo numero triangolare si calcola con la formula di Gauss

T_n = \frac{n(n+1)} {2} .

Quindi il sesto numero triangolare sarà 6(6+1)/2 –> 6×7/2 –> 42/2 –>21; si moltiplicano due numeri successivi e si divide per due, perché è intuitivo, anche graficamente:

Numeri triangolari 2

Si accoppiano due triangoli uguali si ottiene un rettangolo con un lato lungo come l’indice del numero triangolare e l’altro aumentato di uno. Dividendo per due si ottiene l’ennesimo numero triangolare.

Come abbiamo visto ieri nei numeri quadrati, la somma di due triangolari successivi è un numero quadrato.

Ma che bello trovare proprietà comuni ai numeri, a numeri diversi:
  • esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
  • ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in 20 = 10 + 10; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
  • la somma dei primi n\ numeri triangolari è pari all’n-esimo numero tetraedrico;
  • l’n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per 3n - 1; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
  • la differenza tra l’n-esimo numero m-gonale e l’n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.
  • T_{a+b} = T_{a} + T_{b} + ab (somma di triangolari);
  • T_{ab} = T_{a}T_{b} + T_{a-1}T_{b-1}, (prodotto di questi triangolari); tutti i numeri perfetti sono triangolari;
  • i reciproci di questi numeri formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2;
  • il quadrato dell’n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi n\ cubi: T_n^2 = \sum_{k=1}^n k^3 Questo risultato è noto sotto il nome di teorema di Nicomaco.
  • i numeri triangolari si susseguono sempre alternando due numeri dispari a due numeri pari.
Poi esistono anche i numeri triangolari centrati, come erano centrati i numeri quadrati  di ieri. Si calcolano con la formula

{3n^2 - 3n + 2} \over 2

E si rappresentano così:

Numeri triangolari Centrati

I primi numeri triangolari centrati sono:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971

Ogni numero triangolare centrato dal 10 in poi è la somma di tre numeri triangolari regolari consecutivi. Inoltre, ogni numero triangolare centrato ha resto 1 se diviso per tre e il quoziente è il numero triangolare regolare precedente.

Sommando i primi n numeri triangolari centrati si ottiene la costante di un quadrato magico di lato n (con n > 2).

Insomma che volete di più?

Beh, i numeri triangolari, in genere, ma  anche tutti gli altri numeri poligonali, sono stati i primi numeri studiati algebricamente, i Fenici li usavano per calcolare i terreni e giocando, giocando… con i numeri si arriva lontano.

Enjoy

Giancarlo

 

Numero quadrato centrato. Ovvero la bellezza della matematica.

Numero quadrato centrato

Prendiamo un punto, e disponiamoci intorno altri quatto punti, a formare un quadrato con al centro il punto iniziale. Abbiamo il nostro numero quadrato centrato

1 Quadrato Numero quadrato centrato

5 Quadrato Numero quadrato centrato

Abbiamo scritto il primo numero quadrato l’1 ed il secondo, il 5.

Un numero quadrato centrato è un numero poligonale centrato che rappresenta un quadrato con un punto al centro e tutti gli altri attorno.

I primi numeri quadrati centrati sono: 1, 5, 13, 25, vediamoli:

13 Quadrato Numero quadrato centrato

Ma come si calcola la serie dei quadrati centrati?

Generalizzando così

n2 + (n – 1)2

quindi il quarto numero quadrato sarà

42 + (4 – 1)2 → 16 + 9 → 25

Scrivendo l’addizione precedente così.

(n – 1)2 + n2

si vede che ogni numero quadrato è la somma dei quadrati di due numeri successivi.

infatti: 1+4 –> 4+9 –> 9+16 –> 16+25…

1,2 –>  2,3 –>   3.4 –>    4,5…

Da ultimo avrete notato che tutti i numeri quadrati centrati sono dispari.

Enjoy.

Giancarlo

 

 

 

I numeri primi.

I numeri primi.

Sapete che i numeri primi (detti anche primi) sono quei numeri, della serie infinita dei numeri naturali, che: maggiori di uno, sono divisibili solo per uno o per se stessi.
Qualsiasi altro numero è detto composto.
I primi primi sono 2 (l’1 si è già detto non si considera), 3, 5, 7, 11, 13, 19…

Si nota subito che, escludendo il primo,  tutti i numeri pari non sono primi. Infatti ci ricordiamo tutti che si definisce numero pari quel numero che è divisibile per due: il primo primo.

Quindi possiamo già decimare la lista dei primi venti numeri naturali

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20,

2 si divide per se stesso ed è l’unico pari, primo.

3 si divide solo per se stesso ed è primo, ma tutti i numeri che si dividono per 3 vanno eliminati.

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19.

E giù un’altra serie eliminata oltre quelli spariti prima.

5, altro numero che non si divide che per se e che elimina tutti i suoi multipli successivi. Quei numeri che terminano per 0 o per 5.

2 3 5 7 11 13 17 19.

Il 10 , il15 e il 20 erano comunque già andati.

Il 7 è primo e l’11 anche, indubitabilmente, come il 13 il 17 ed il 19.

Ma non è così facile trovare i numeri primi superiori a quelli già visti. Gli scarti, contrariamente alle prime due decine, crescono e i numeri primi si diradano, anche se ce ne sono ben 25.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101.

Perché i primi sono interessanti?

Beh! perché con essi si possono costruire tutti i numeri interi moltiplicando i primi tra loro (fattorizzazione). Ogni fattorizzazione è unica, cioè ogni numero intero è costruito sulla moltiplicazione unica di numeri primi.

Curiosamente, per modo di dire, i numeri primi, che sono solo una parte dei numeri naturali, un sottoinsieme, sono infiniti come l’insieme originale.

I numeri primi sono stati sempre nell’interesse umano, le prime tracce di questa consapevolezza si ritrovano nell’Osso d’Ishango.

Alle medie insegnano a fattorizzare i numeri, non prendetelo alla leggera è una delle basi le della teoria fondamentale dell’aritmetica.

Ci sono diversi metodi di fattorizzazione, più o meno efficienti, il più vecchio conosciuto è il crivello di Erastotene che non è altro che quello usato sin qui.

Si cancellano i numeri pari, poi i multipli di 3, poi quelli di 5, e così via per tutti i numeri primi che si incontrano fino a quello che è uguale al numero restante.

Fattorizzazione e numero di divisioni.

Ma per fattorizzare bisogna tener conto delle volte che il numero è diviso per un primo, es il numero 100 si fattorizza così:

100/2=50

50/2=25

25/5=5

quindi

2x2x5

o

22x5

Cioè 100 è definito univocamente dal prodotto di 2 per 2 per 5, che è lo stesso della forma alternativa 2 per 5 per 2 o 5 per 2 per 2.

Da questi concetti derivano molti teoremi e congetture, difficili da spiegare, ma una volta approfonditi fanno subito apprezzare la bellezza della matematica.

Divertitevi

Giancarlo

numeri primi