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I numeri di Fermat

I numeri di Fermat

I numeri di Fermat

Il grande matematico Pierre de Fermat ha dato molto alla matematica.

Molte delle sue intuizioni sono state poi confermate dal tempo, ma oggi voglio parlarvi di una congettura che è stata invece smentita.

I numeri di Fermat
By http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fermat.html, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=36804

Fermat scoprì una relazione tra numeri che lo portò ad individuare una serie particolare che lui riteneva essere composta solo da numeri primi.

La forma è la seguente:

In effetti calcolando1 i primi cinque numeri si trovano solo numeri primi:

F0 = 3

F1 = 5

F2 = 17

F3 = 257

F4 = 65 537

Per F5 F6… ecc. era, a quel tempo, difficile controllare la primalità.

Solo Eulero, decine di anni dopo riuscì a dimostrare che il sesto numero di Fermat non era primo falsificando così la sua congettura.

Per ora, siamo alla fattorizzazione 15, non è stato trovato nessun altro numero di Fermat che sia primo.

Si ritiene che i numeri di Fermat primi siano in numero finito, forse solo i cinque da lui trovati.

Proprietà

Nonostante la smentita della congettura i numeri di Fermat hanno delle proprietà molto interessanti.

Sono tutti interi dispari, (perché al numero naturale, sempre pari per l’elevazione a potenza di due) si aggiunge uno).

Sono infiniti (perché al numero naturale si aggiunge sempre uno).

Poiché sono infiniti anche i numeri primi sono infiniti (ogni numero primo divide al massimo un numero di Fermat, quindi devono esistere infiniti primi).

A coppie sono coprimi (cioè numeri consecutivi che non hanno nessun divisore che divida entrambi, vedi congettura di Goldbach).

Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi (ad eccezione di F1=5=2+3 poiché, oltre il numero 2, tutti i primi sono tutti dispari e la somma di due dispari, due primi, da pari).

Sperando di aver stimolato in voi qualche curiosità.

Giancarlo

1Ricordo che qualunque numero elevato allo zero vale 1

Immagine di copertina tratta da:

By Anonymous, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=71399865

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Voi non immaginate nemmeno quanto sia bello il

Teorema di Fermat, anzi l’ultimo teorema di Fermat.

Sono sicuro che tutti voi ne avete sentito parlare, ma se ciò non fosse…

… quella sopra è una formula che, molto semplicemente, dice che la somma di due numeri corrisponde ad un altro numero. Però questo è vero per  n=1

ad esempio 1+2=3

Cioè si possono sommare due numeri interi qualunque ottenendo, sempre, un numero intero.

In certi casi è possibile ottenere una somma intera anche per n=2.

Come nel teorema di Pitagora. In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati  è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa. Un esempio facile da capire senza calcoli complessi è quello di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano: uno 3 e l’altro 4 unità, l’ipotenusa conseguentemente misurerà 5 unità. Quindi (3×3)+(4×4)=(5×5) –>(9)+(16)=(25) –> 25=25.

Pierre de Fermat affermò che non esistono soluzioni intere positive all’equazione:

se  .

Cioè non ci sono numeri

Cioè non ci sono numeri interi che risolvano questa equazione per esponenti maggiori di 2. Cubi, potenze di 4 ecc. Questa asserzione fu detta congettura di Fermat. Il quale affermò di poterla dimostrare nel 1637. Quando annotò nel margine di un libro: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”. Dimostrazione che però poi non trascrisse da nessun’altra parte. E nessuno, seppur molti provassero, riuscì nel tentativo di dimostrare la veridicità della congettura. Qualcuno trovò dimostrazioni per l’esponente 3 (Eulero) o per l’esponente 5 (Legendre) ecc. Solo nel secolo scorso (1994) Wiles è riuscito a dimostrarlo per qualsiasi esponente, ma la dimostrazione è difficile, complicata e coinvolge conoscenza matematiche superiori. Tanto che la maggior parte dei matematici la mastica a malapena.

Non tenterò certo di spiegarla io, qui, ora.

Quello che vorrei farvi notare del teorema di Fermat

Quello che vorrei farvi notare, invece è come intuitivamente sia semplice capire che l’equazione non può essere vera per esponenti maggiori di 2.

L’esponente uno ci pone in un mondo unidimensionale per cui ad ogni unità posso aggiungerne altre e queste daranno sempre un numero intero di unità.

L’esponente 2 ci pone in un mondo bidimensionale, anche qui si possono sommare quadrati per ottenere altre figure bidimensionali, di queste ultime quelle quadrate saranno meno frequenti ma ce ne saranno.

la prima delle tante è

 

 

 

cioè 9 + 16 = 25

Teorema di Fermat+Teorema di Fermat

= Teorema di FermatOra, se adiamo avanti, l’esponente 3 ci porta in un mondo tridimensionale.

E’ intuitivo che in questo mondo la somma di due volumi, qualunque siano i loro valori unitari, non potrà mai dare un altro cubo uguale alla somma degli stessi. Cioè se si sommano le unità di volume in una direzione non ci saranno più unità da espandere nell’altra.

Teorema di Fermat

Teorema di FermatTeorema di Fermat

Se raddoppiamo il volume o lo aumentiamo di una unità nelle tre direzioni non otteniamo mai un cubo.

Teorema di FermatPer ottenere ancora un cubo dobbiamo raddoppiare i lati, ma il volume diviene di otto unità (una dietro non si vede).

e non si possono sommare due cubi ottenendo un altro cubo, è fisicamente impossibile. Se triplichiamo il lato il volume aumenta di 27 volte.

Teorema di Fermat

Assumiamo lo stesso andamento  per spazi superiori al tridimensionale, che però non posso rappresentarvi.

Ecco, in modo empirico, abbiamo risolto la congettura di Fermat. Che quindi è vera. Ma questa dimostrazione, seppur mi piaccia, non è matematicamente corretta o accettabile.

Sarebbe stato troppo bello, troppo facile. Dovrete studiarvi meglio la matematica se vorrete affrontare la dimostrazione ufficiale del teorema di fermat, dell’ultimo teorema.

In realtà per raddoppiare il cubo occorre ampliare i lati del cubo di circa 1,259921049894873164767210607… (sequenza A002580 dell’OEIS) che è il valore della radice cubica di 2.

Mi domando, comunque, come potrà mai, l’utilizzo di questo valore, dare un risultato intero nel raddoppio del cubo?

Giancarlo