Numeri triangolari

Ieri non vi ho parlato dei numeri triangolari ma di quelli quadrati; i quadrati sono più difficili. Comunque i numeri triangolari sono anch’essi, in matematica, numeri poligonali rappresentabili in forma di triangolo. Su una griglia sono disposti triangolarmente.

 

Il successivo numero triangolare si calcola con la formula di Gauss

Quindi il sesto numero triangolare sarà 6(6+1)/2 –> 6×7/2 –> 42/2 –>21; si moltiplicano due numeri successivi e si divide per due, perché è intuitivo, anche graficamente:

Si accoppiano due triangoli uguali si ottiene un rettangolo con un lato lungo come l’indice del numero triangolare e l’altro aumentato di uno. Dividendo per due si ottiene l’ennesimo numero triangolare.

Come abbiamo visto ieri nei numeri quadrati, la somma di due triangolari successivi è un numero quadrato.

Ma che bello trovare proprietà comuni ai numeri, a numeri diversi:

• esistono infiniti numeri triangolari che sono anche numeri quadrati;
• ogni numero naturale si può scrivere come somma di al massimo tre numeri triangolari (eventualmente ripetuti, come in ; questa proprietà fu scoperta da Gauss nel 1796, ed è un caso particolare del teorema di Fermat sui numeri poligonali;
• la somma dei primi numeri triangolari è pari all’n-esimo numero tetraedrico;
• l’n-esimo numero pentagonale è un terzo del numero triangolare per ; ogni altro numero triangolare è un numero esagonale;
• la differenza tra l’n-esimo numero m-gonale e l’n-esimo numero (m+1)-gonale è uguale all'(n-1)-esimo numero triangolare.
• T_{a+b} = T_{a} + T_{b} + ab (somma di triangolari);
• T_{ab} = T_{a}T_{b} + T_{a-1}T_{b-1}, (prodotto di questi triangolari); tutti i numeri perfetti sono triangolari;
• i reciproci di questi numeri formano la serie di Mengoli moltiplicata per 2; la loro somma vale pertanto 2;
• il quadrato dell’n-esimo numero triangolare è uguale alla somma dei primi n\ cubi: Questo risultato è noto sotto il nome di teorema di Nicomaco.
• i numeri triangolari si susseguono sempre alternando due numeri dispari a due numeri pari.

Poi esistono anche i numeri triangolari centrati, come erano centrati i numeri quadrati  di ieri. Si calcolano con la formula

E si rappresentano così:

I primi numeri triangolari centrati sono:

1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361, 409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901, 976, 1054, 1135, 1219, 1306, 1396, 1489, 1585, 1684, 1786, 1891, 1999, 2110, 2224, 2341, 2461, 2584, 2710, 2839, 2971

Ogni numero triangolare centrato dal 10 in poi è la somma di tre numeri triangolari regolari consecutivi. Inoltre, ogni numero triangolare centrato ha resto 1 se diviso per tre e il quoziente è il numero triangolare regolare precedente.

Sommando i primi n numeri triangolari centrati si ottiene la costante di un quadrato magico di lato n (con n > 2).

Insomma che volete di più?

Beh, i numeri triangolari, in genere, ma  anche tutti gli altri numeri poligonali, sono stati i primi numeri studiati algebricamente, i Fenici li usavano per calcolare i terreni e giocando, giocando… con i numeri si arriva lontano.

Enjoy

Giancarlo