Se andiamo a spulciare la successione di Fibonacci si scoprono cose interessanti. La sezione Aurea è una di queste. Se calcoliamo il rapporto fra numeri successivi della sequenza di Fibonacci Fib (n + 1) / Fib (n) notiamo un curioso comportamento: il rapporto oscilla tra due numeri molto vicini ma non diviene mai uguale.
1/1
1
2/1
2
3/2
1,5
5/3
1,6666666667
8/5
1,6000000000
13/8
1,6250000000
21/13
1,6153846154
34/21
1,6190476190
55/34
1,6176470588
89/55
1,6181818182
144/89
1,6179775281
233/144
1,6180555556
Graficamente Dato che i numeri di Fibonacci sono infiniti il loro rapporto sarà anch’esso infinito. Per un numero di Fibonacci che tende all’infinito potremo trovare un valore limite, che indicheremo come fanno i matematici con Φ (Fi).
Detto in altro modo possiamo calcolare Φ come il limite per n che tende all’infinito del rapporto fra Fib (n + 1) e Fib (n) (dove Fib (n) è l’ennesimo numero di Fibonacci).
Matematicamente
si può dimostrare che il valore di Φ è uguale a 1 sommato alla radice quadrata di 5, il tutto diviso per 2, che da un valore numerico di circa 1,618. Una semplice dimostrazione è la lettura del grafico e relativi valori calcolati in un foglio di calcolo di libre office (calc) riportati più sopra.
Ma volendo andar a vedere la formula matematica possiamo scrivere: Fib (n + 1) / Fib (n), ma Fib (n+1) (il prossimo numero della sequenza) per definizione è uguale alla somma dei due numeri precedenti, cioè Fib (n) (il numero attuale) + Fib (n -1) (quello precedente) quindi Fib (n +1) / Fib (n) = Fib (n) + Fib (n – 1) / Fib (n) che è uguale a 1 + Fib (n – 1) / Fib (n) allora Fib (n + 1) / Fib (n) = 1 + Fib (n – 1) / Fib (n)
Per numeri n molto grandi Fib (n + 1) / Fib (n) ≈ Φ e Fib (n – 1) / Fib (n) ≈ 1 / Φ. Quindi, dopo tanto ragionamento, possiamo trasformare l’equazione precedente in Φ = 1 / Φ + 1.
Semplifichiamo moltiplicando entrambi i termini per Φ Φ x Φ=1 + Φ uguagliando a zero Φ² – Φ – 1 = 0 è un’equazione di secondo grado come aX² + bX + c = 0 che normalmente si risolve X= -b² ± √b²-4ac.
Ovvero, nel nostro caso Φ = (1 ± √1+4) / 2 la cui soluzione positiva è (la negativa non ci serve) Φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618 la sezione Aurea. Dalla formula Φ = 1 / Φ + 1 si ricava facilmente l’inverso di Φ 1 / Φ = Φ – 1 ≈ 1,618 – 1 ≈ 0,618.
Quest’ultimo valore è noto anche nell’arte e nell’architettura perché consente, di ottenere figure ben proporzionate.
Il Nautilus, vedi wikipedia, oltre ad essere il file manager dell’ambiente desktop GNOME proprio di qualche distribuzione GNU/LINUX e il sommergibile di Verne, è anche una mollusco dotato di una splendida conchiglia che cresce con lui.
Nautilus sezionato. Da Wikimedia http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ANautilus-seccionado-2.jpgNautilus Pompilius Wikimedia http://commons.wikimedia.org/wiki/File%3ANautilus_pompilius_3.jpg
Ma perché parliamo di file manager e molluschi. Beh di file manager perché Nautilus era il logico proseguo della shell usata da GNU/Linux e tutti i sistemi UNIX, conchiglia dopo conchiglia si arriva al pinguino. Ma qui non c’entra nulla, qui parliamo di matematica.
LEONARDO PISANO detto FIBONACCI
Vi dice niente questo nome?
non lo ripeto, se non lo sapete guardate il primo o il secondo articolo in merito.
Vediamo di iniziare a comprendere la grandezza della successione scoperta dal Pisano.
Il Nautilus costruisce la sua conchiglia in forma di spirale logaritmica (naturalmente la forma reale è più complessa e tridimensionale ma noi la possiamo rappresentare bene in due dimensioni, disegnando appunto una spirale logaritmica.
Si vede
bene nella prima immagine del Nautilus sezionato, ora vi mostro lo schema che ho disegnato io.
Si vede subito che dentro ci sono i primi numeri della sequenza di Fibonacci e l’area dove sono scritti non ne è che il quadrato, cioè la spirale inizia con due quadrati di lato unitario affiancati, questi idealmente costruiscono un rettangolo di 2×1 (due quadrati di 1 affiancati) e sul suo lato maggiore.
Possiamo ora affiancare un quadrato di 2×2 (2 al quadrato, il cui lato è dato dalla somma dei due numeri precedenti). Il tutto, preso assieme, forma un rettangolo 3×2, quindi sul lato maggiore accostiamo un quadrato 3×3 (3 al quadrato con lato uguale alla somma dei due numeri precedenti), se continuiamo a costruire un nuovo quadrato sul lato maggiore (5) avremo un rettangolo simile al precedente ma di dimensioni maggiori (5×8). Possiamo continuare così all’infinito, 8×13, 13×21, 21×34,… la somma dei due lati affiancati degli ultimi quadrati ci darà il lato del nuovo quadrato ed incrementerà la successione di Fibonacci:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
Se ora facciamo passare una curva tra i due angoli opposti di ogni quadrato, avendo cura di far coincidere il secondo angolo di un quadrato con un altro del secondo del quadrato adiacente e piegando la curva verso quello opposto, costruiremo la nostra spirale, che crescerà indefinitamente, sempre nello stesso modo, sempre seguendo la successione di Fibonacci.
Per quanto riguarda il Nautilus, la sua conchiglia crescendo secondo questa successione permette di creare spazi interni sempre maggiori, adatti a contenere il corpo del mollusco che si espande, crescendo, nella stessa maniera.
Curiosamente
la spirale parte con due quadrati uguali, i due numeri unitari, ma se invece del primo quadrato di lato 1 avessimo un quadrato di lato dimezzato, cui accanto trova posto un quadrato di lato un quarto e così via, la spirale continuerebbe in senso inverso? Ovvero partirebbe prima? Con la stessa forma? Si raggiungerebbe mai il centro? lo zero. Mi sa che siamo al limite.
Che spettacolo,
che spettacolo la natura,
e che spettacolo anche la matematica,
ma sui numeri della successione c’è altro da dire, molto altro,
Non ho usato la solita grafica dei conigli, perché i pinguini sono molto più belli, poi questa dovrebbe rendere meglio la riproduzione e le varie generazioni. La coppia piccola e in B/N all’inizio rappresenta la prima coppia che non diviene fertile che al primo mese. Fibonacci comunque usava partire da una coppia già adulta che si riproduceva già nel primo mese, per riportarsi nelle sue condizioni i numeri delle colonne dei mesi vanno sottratti di una unità, cioè si conta 0, 1, 2 ecc.
Al secondo mese abbiamo le due coppie, ma la seconda non procreerà che dopo due mesi e così quest’ultima. Mentre le più vecchie lo faranno ogni mese. Contando i pinguini dalla prima coppia avremo sempre il numero ultimo della serie di Fibonacci a quella colonna, che è anche uguale al numero di coppie della colonna sommato alle coppie della colonna precedente.
Ma se, come ho detto questi numeri sono così interessanti vediamo di scoprire altro sulle loro caratteristiche e proprietà.
Proprietà della serie
Intanto è una successione infinita. E già potete immaginare, vedere con la vostra mente, la bellezza di qualcosa che è infinito. Già riuscire ad immaginarlo è uno sforzo intellettuale notevole. Però la sequenza non parte da zero, e questo semplifica le cose. Capirete che per un antico romano sarebbe stato difficile immaginare la serie. Anche solo ad una parte, perché se pensate alla notazione Romana dei numeri, si dovrebbero maneggiare alcuni numeri difficili da leggere o scrivere.
Ad esempio il quindicesimo numero in serie è il 987, che i Romani dovevano scrivere CMLXXXVII, il successivo è il 1.597 ovvero MDXCVII e poi c’è il 2.584, cioè il MMDLXXXIV, pensate ad un commerciante Romano, con l’abaco in mano, a calcolare il la somma degli ultimi due per ottenere il 4.181.
Leonardo (figlio di Guglielmo del, o dei, Bonacci) invece usava la notazione posizionaleAraba/Indiana, con lo zero, ed il calcolo andava spedito fino a numeri altrimenti impensabili.
Voglio affrontare un argomento di matematica che mi ha sempre appassionato: la successione di Fibonacci. E’ una serie di numeri particolare, scoperta studiando il comportamento animale, che può spiegare molti affascinanti aspetti della natura e le regole sottostanti.
L’ha scoperta un Pisano, Leonardo Pisano detto il Fibonacci, perché figlio di Guglielmo dei Bonacci nel tredicesimo secolo. Fibonacci era un commerciante che recatosi nel mondo arabo ne apprese e ne sviluppò nozioni matematiche allora sconosciute in Europa.
Monument of Leonardo da Pisa (Fibonacci), by Giovanni Paganucci, completed in 1863, in the Camposanto di Pisa. Wikimedia
Ma qual’è questa successione e perché è così interessante?
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 56, … all’infinito.
E’ interessante perché, a parte i primi due numeri gli altri si ottengono sommando i due precedenti. La serie è infinita. Una successione è una sequenza di numeri, successivi ovviamente, legati tra loro in modo particolare, per cui si può definirne il primo, il secondo, il terzo ed in generale l’ennesimo termine nello stesso modo generale. (Maggiori informazioni su wikipedia cliccando qui o in fondo all’articolo).
Perché il Fibonacci mi si piccò su questa successione?
Dicono che volesse conoscere quanti conigli si potessero avere da una coppia nel giro di un anno, forse lo voleva sapere perché amante dello stufato, forse per fornire la minima scorta iniziale alle navi dei commercianti Pisani, forse perché a Pisa nel tredicesimo secolo non avevano niente altro da fare, mah, chissà.
Fatto sta che scoprì questa successione e ne scrisse a proposito, ed eccoci qui a ricordarlo, come è giusto che sia per chi ha fatto qualcosa di grande.
La domanda che si pose Fibonacci, forse, era la seguente:
Se poniamo in un’area chiusa due conigli, che succede?
Beh prima di provare a rispondere chiariamo qualche regola altrimenti non andremo lontano, ed il percorso di questi numeri è lungo, anzi infinito.
I conigli nascono, nel primo mese crescono e nel secondo diventano sessualmente attivi e si accoppiano e si riproducono. Quindi procreano solo al secondo mese, poi lo fanno regolarmente ogni mese seguente. I conigli sono sempre accoppiati. Nascono e vivono in coppia. I conigli non muoiono mai. I conigli non mangiano, ne vengono mangiati.
In questo ideale mondo coniglio vediamo che succede.
Iniziamo il primo di gennaio 2014 con una bella coppia di conigli già adulti [1], dopo un mese il primo di Febbraio danno alla luce una nuova coppia di coniglietti [1,1] il primo di Marzo la prima coppia mette al mondo una seconda coppia di coniglietti ed abbiamo due coppie di conigli fertili perché la seconda è cresciuta, ed una giovane [1,1,2] in un mese, il primo di Aprile, avremo la nascita di altre due coppie mentre quelle mature saranno tre [1,1,2,3].
Passa un mese ed il primo Maggio, ancorché festa del lavoro, nasceranno tre nuove coppie e quelle sessualmente attive saranno cinque. [1,1,2,3,5]. Il primo Giugno anche queste tre nuove coppie si aggiungeranno alle cinque riproduttive mentre cinque nuove coppie nasceranno.[1,1,2,3,5,8]. A Luglio, passato metà anno, nasceranno otto nuove coppie da quelle mature e le cinque giovani passeranno la pubertà [1,1,2,3,5,8,13] Ad Agosto nasceranno ventun coppie e tredici saranno pronte per la sfida sessuale. [1,1,2,3,5,8,13,21]. A settembre saranno tanti. [1,1,2,3,5,8,13,21,34]. Ad Ottobre ancor di più. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55]. a Novembre si fatica a tener di conto. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89].
Eppoi, finalmente, a Dicembre si passa abbondantemente il centinaio di coppie di conigli fertili con quasi un centinaio di coniglietti al seguito. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144]. Ma l’anno non è finito ci manca un mese ed il primo Gennaio del 2015 avremo ottenuto dai nostri sforzi un mucchio di conigli saltellanti. [1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233]. Dove li metteremo!
Quindi ogni mese nasceranno
Quindi ogni mese nasceranno nuove coppie quante coppie sessualmente attive c’erano il mese precedente, mentre la popolazione in grado di riprodursi si accrescerà del numero di coppie giovani del mese prima.
Non è fantastica la progressione di questa serie di numeri? Pensate al secondo anno quanti conigli avremo (e sono tutte coppie), ed in un decennio? Saranno stati sufficienti per le mire del nostro caro Leonardo Pisano? Non lo sapremo mai, per intanto sappiamo qualcosa in più sulla matematica, sulle successioni eccetera.
Quindi, per concludere in qualche modo questa avventura: la successione Fibonacci sF(n), dati i due numeri iniziali sF(1) = 1 e sF(2) = 1, è generalizzabile per i numeri successivi come sF(n) = sF(n-1) + sF(n-2).
Lui era li in trincea e la guerra, la Grande Guerra, sembrava non finire mai. Su, in montagna a difendere un lembo di terra, dura, pietrosa, ostile come può esserlo solo in montagna.
I giorni passavano, lenti, nella trincea, ogni tanto uno sparo, nostro o loro, nulla più.
Ah si, anche un colpo di mortaio, a volte; l’obice ti manda un saluto, un fischio leggero, man mano più forte.
E gli schizzi di sassi e terra e merda e sangue, fumo, polvere, polvere da sparo bruciata, carne bruciata.
Lui, chino su se stesso, per ripararsi non si sa come e da cosa.
Gino che piange, che beve, che ascolta, che ride che sogna, che dorme e si sveglia, e…, Gino, Gino, Gino, G i n o. No.
Oh no! C’è qualcuno, di là.
Si alza, lo vede, anche lui lo vede, Gino lo vede prendere la mira e sparare. E’ troppo tardi per scansarsi, per tornare giù, Gino è fottuto, lo sente. Ma il pensiero è veloce, più della pallottola, e calcola e misura e pensa: “Ecco ha fatto mezza strada”. (La pallottola N.D.A), “Altrettanta ne farà e sarò spacciato”. “Dove mi colpirà? Tra gli occhi, in bocca? No! Oh No!”.
E la pallottola continua ad andare. Va verso di lui veloce come il vento, ma non come la sua mente che pensa, ragiona, calcola: “Ancora un’altra metà della distanza”. Metà percorso è quanto gli restava da vivere, prima di morire. Quanto tempo? Ancora un po. La palla di piombo correva veloce, ma non riuscì che a fare ancora una metà del tragitto rimanente. E la sua mente, come un navigatore satellitare “ricalcolò”, ancora una volta, la metà di quanto rimaneva alla meta. Via via la palla rallentava, sinché si fermò, come sospesa in mezzo senza riuscire più ad imbucarsi nella zucca di Gino. Che ancora oggi, vivo e vegeto, dopo un’infinità di”ricalcoli” si chiede: “Quanto mancherà?” E manca sempre la metà della metà.
In particolare mi vorrei soffermare sugli abitanti di Bucine e su quelli di Levane.
I primi sono detti Bucinesi ed i secondi Levanesi.
Nei secoli non è mai corso buon sangue tra le due comunità, a causa di certi scherzi e sfottò che si sono sempre scambiati.
Comunque sia, oggi le due comunità vivono in quiete tra loro, tra l’altro sempre meno Bucinesi e Levanesi vivono nei rispettivi paesi, la globalizzazione ha portato genti di tutto il mondo a diluire le specificità.
Ma noi, per la nostra trattazione assumeremo che a Bucine vivano tutti Bucinesi ed a Levane vivano tutti Levanesi. ogni comunità con le sue specificità distinte tra loro ed indistinte tra compaesani.
Inoltre vorrei dirvi che dovrete credermi per forza anche quando le mie affermazioni vi parranno assurde o paradossali e per questo mi guarderò bene dall’affermare che tutti i Bucinesi sono bugiardi, vi dirò invece che gli uomini di Bucine dicono sempre il vero mentre le donne di Bucine dicono solo falsità. I Levanesi, stranamente si comportano esattamente al contrario. E quando parlo di donne ed uomini mi riferisco al sesso degli individui di tutte le età, bambini o centenari che siano.
Chiaramente sapere queste cose aiuta molto chi volesse sapere se un abitante qualunque dei due paesi è uomo o donna, è sufficiente chiedergli “Sei di Bucine ?” e sentire se risponde si o no. Possiamo anche domandargli se è di Levane con le risposte invertite. Poi per sapere di dov’è, di Bucine o di Levane si chiede “Sei un uomo? e risponderà si o no. Al contrario si può chiedere se è donna con le risposte al contrario. Se qualcuno ti dice “sono un uomo di Levane”, allora significa che è una donna di Bucine. Se dice “o sono una donna o sono di Levane”, allora significa che è una donna di Levane. E via andando.
Vi ho raccontato come vanno le cose in Valdarno,
ma in realtà sia Levane che Bucine oltre che trovarsi in Valdarno si trovano ancorché in Valdambra dal torrente Ambra, affluente di sinistra dell’Arno, che da il nome anche ad Ambra una ridente cittadina nel comune di Bucine i cui abitanti sono detti Valdambrini.
I Valdambrini maschi si dedicano tradizionalmente all’edilizia e sono sostanzialmente o muratori o manovali. i muratori dicono sempre il vero e i manovali sempre il falso. Ad Ambra nessuno può dire «sono un manovale». Se di due Valdambrini uno dice “siamo entrambi manovali”, allora lui è un manovale, ma l’altro no. Se dice “almeno uno di noi è un manovale”, allora lui è un muratore, ma l’altro no. Se invece dice “o sono un manovale o siamo entrambi muratori”, allora entrambi sono muratori. E con la banda andando.
Credo che ora, sarete in grado di praticare la zona senza sorprese e fraintendimenti.
Nel Valdarno superiore sono stati rinvenuti numerosi reperti che testimoniano la presenza di insediamenti umani sin dall’età della pietra. Numerosi sono stati i popoli che hanno abitato la valle, tra cui gli Etruschi, i Liguri e i Romani, grazie alla fertilità e all’abbondanza di fauna.
Sul Valdarno, si ha un maggior numero di fonti storiche risalenti al Medioevo, un periodo in cui la Toscana era una delle zone più ricche e importanti d’Europa. Durante l’Età di mezzo cominciano ad essere edificate sorgere le prime cerchia murarie, e i paesi assumono dimensioni notevoli per l’epoca.
Nel Basso Medioevo, in età comunale il Valdarno si trovava al centro di tre grandi centri in lotta fra loro: Arezzo, Firenze e Siena. Conseguentemente il Valdarno fu teatro di molti scontri; la valle, oltre ad essere strategica dal punto di vista geografico, era importante anche per le risorse alimentari.
Dopo la vittoria di Firenze nella battaglia di Campaldino la vallata fu posta sotto il governo della Repubblica fiorentina. Furono creati due presidi militari per ridurre le incursioni aretine e senesi, e per limitare o togliere il potere ai signori locali che potevano fomentare una rivolta contro lo Stato fiorentino:
San Giovanni (oggi San Giovanni Valdarno);
Castel Santa Maria (odierna Terranuova Bracciolini).
Dopo aver sottomesso Arezzo, Firenze doveva combattere altri nemici per continuare ad avere l’egemonia nella valle: l’imperatore del Sacro Romano Impero Arrigo VII e il papa Sisto VI. Per questo motivo i fiorentini fecero costruire mura attorno a Montevarchi e a San Giovanni, ma ciò non riuscì a scongiurare la conquista da parte delle truppe papali.
Il Valdarno fu flagellato dalla peste, oltre che dalle periodiche esondazioni dell’Arno, che ogni volta mietevano un gran numero di vittime, distruggendo i campi e mettendo a dura prova la sopravvivenza dei valdarnesi[.
Dato che i numeri di Fibonacci sono infiniti il loro rapporto sarà anch’esso infinito. Per un numero di Fibonacci che tende all’infinito potremo trovare un valore limite, che indicheremo come fanno i matematici con Φ (Fi).
