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L’ultimo teorema di Fermat

Voi non immaginate nemmeno quanto sia bello il

Teorema di Fermat, anzi l’ultimo teorema di Fermat.

Sono sicuro che tutti voi ne avete sentito parlare, ma se ciò non fosse…

… quella sopra è una formula che, molto semplicemente, dice che la somma di due numeri corrisponde ad un altro numero. Però questo è vero per  n=1

ad esempio 1+2=3

Cioè si possono sommare due numeri interi qualunque ottenendo, sempre, un numero intero.

In certi casi è possibile ottenere una somma intera anche per n=2.

Come nel teorema di Pitagora. In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati  è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa. Un esempio facile da capire senza calcoli complessi è quello di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano: uno 3 e l’altro 4 unità, l’ipotenusa conseguentemente misurerà 5 unità. Quindi (3×3)+(4×4)=(5×5) –>(9)+(16)=(25) –> 25=25.

Pierre de Fermat affermò che non esistono soluzioni intere positive all’equazione:

se  .

Cioè non ci sono numeri

Cioè non ci sono numeri interi che risolvano questa equazione per esponenti maggiori di 2. Cubi, potenze di 4 ecc. Questa asserzione fu detta congettura di Fermat. Il quale affermò di poterla dimostrare nel 1637. Quando annotò nel margine di un libro: “Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina”. Dimostrazione che però poi non trascrisse da nessun’altra parte. E nessuno, seppur molti provassero, riuscì nel tentativo di dimostrare la veridicità della congettura. Qualcuno trovò dimostrazioni per l’esponente 3 (Eulero) o per l’esponente 5 (Legendre) ecc. Solo nel secolo scorso (1994) Wiles è riuscito a dimostrarlo per qualsiasi esponente, ma la dimostrazione è difficile, complicata e coinvolge conoscenza matematiche superiori. Tanto che la maggior parte dei matematici la mastica a malapena.

Non tenterò certo di spiegarla io, qui, ora.

Quello che vorrei farvi notare del teorema di Fermat

Quello che vorrei farvi notare, invece è come intuitivamente sia semplice capire che l’equazione non può essere vera per esponenti maggiori di 2.

L’esponente uno ci pone in un mondo unidimensionale per cui ad ogni unità posso aggiungerne altre e queste daranno sempre un numero intero di unità.

L’esponente 2 ci pone in un mondo bidimensionale, anche qui si possono sommare quadrati per ottenere altre figure bidimensionali, di queste ultime quelle quadrate saranno meno frequenti ma ce ne saranno.

la prima delle tante è

 

 

 

cioè 9 + 16 = 25

Teorema di Fermat+Teorema di Fermat

= Teorema di FermatOra, se adiamo avanti, l’esponente 3 ci porta in un mondo tridimensionale.

E’ intuitivo che in questo mondo la somma di due volumi, qualunque siano i loro valori unitari, non potrà mai dare un altro cubo uguale alla somma degli stessi. Cioè se si sommano le unità di volume in una direzione non ci saranno più unità da espandere nell’altra.

Teorema di Fermat

Teorema di FermatTeorema di Fermat

Se raddoppiamo il volume o lo aumentiamo di una unità nelle tre direzioni non otteniamo mai un cubo.

Teorema di FermatPer ottenere ancora un cubo dobbiamo raddoppiare i lati, ma il volume diviene di otto unità (una dietro non si vede).

e non si possono sommare due cubi ottenendo un altro cubo, è fisicamente impossibile. Se triplichiamo il lato il volume aumenta di 27 volte.

Teorema di Fermat

Assumiamo lo stesso andamento  per spazi superiori al tridimensionale, che però non posso rappresentarvi.

Ecco, in modo empirico, abbiamo risolto la congettura di Fermat. Che quindi è vera. Ma questa dimostrazione, seppur mi piaccia, non è matematicamente corretta o accettabile.

Sarebbe stato troppo bello, troppo facile. Dovrete studiarvi meglio la matematica se vorrete affrontare la dimostrazione ufficiale del teorema di fermat, dell’ultimo teorema.

In realtà per raddoppiare il cubo occorre ampliare i lati del cubo di circa 1,259921049894873164767210607… (sequenza A002580 dell’OEIS) che è il valore della radice cubica di 2.

Mi domando, comunque, come potrà mai, l’utilizzo di questo valore, dare un risultato intero nel raddoppio del cubo?

Giancarlo

 

 

Arte

Cos’è un opera d’arte?

Scoprire l’arte

Scopriamolo assieme…

Diciamo che è qualcosa di artificiale, realizzato da un uomo o una donna, può coinvolgere i sensi, uno o più d’uno. Il senso primario coinvolto è la vista, poi il tatto, l’udito, raramente olfatto e gusto.

Un’opera d’arte si guarda, una pittura, un disegno, una  statua, un’incisione, una foto. Si tocca, una statua un bassorilievo. Non so dire se un suono, una musica o un canto possano essere arte; odori e sapori no, sono un’altra cosa. Anche se possono evocare più di altro.

Un’opera d’arte deve essere bella, ma è una caratteristica troppo soggettiva ed anche due uova al tegamino possono esserlo.

Originale, beh, sì. Originale deve esserlo, ma sembra più una prerogativa che una caratteristica, quale copia della Gioconda sarà mai un’opera d’arte?

E allora?

Perché il mio autoritratto giovane vecchio

non è famoso come questi altri?

Perché???

E’ originale, è a olio, rappresenta un mio stato d’animo particolare, unico, momentaneo, fuggente, che non tornerà più. Proprio come le altre opere.

Allora si deve trovare un metro diverso.

La tecnica, pur necessaria non può essere quello.

Tecnicamente ci sono realizzazioni perfette che non dicono gran che.

Ecco dire qualcosa, comunicare un messaggio, mostrare il bello, o il brutto in certi casi.

Ritorniamo al bello.

Ma il bello può esser misurato, valutato, ponderato?

Sono quasi sicuro che la proporzione, la relazione che hanno le parti delle cose ci mostra il bello. Alcune consonanze nelle cose creano armonia, come certi colori possono avvicinarsi mentre altri no.

Ma allora è solo una misura accurata delle parti e una selezione precisa dell’accostamento dei colori?

Allora una musica armoniosa è un’opera d’arte, che le misure tra se sono precise come poche altre.

Il canone estetico ci porta a costruire una figura umana o di altro tipo, perfetta e proporzionata e quindi bella, ma ciò che è brutto, allora, non è bello.

Allora Guernica non è bella, e tanti lo pensano davvero.

Perché è bella in senso diverso, non è estetica è antitetica, è realtà sparata in faccia a chi vede.

E’ arte.

Ho scritto del bello qui. Dove sostenevo che il bello è estetico e numerico.

Anche l’arte deve esserlo, perché nei vari modi in cui si esprime deve rendere la proporzione e l’estetica.

Farò mai un opera d’arte io? Mah!

arte

Giancarlo

 

 

I numeri fortunati

I numeri fortunati

I numeri fortunati sono un particolare insieme di numeri che si ottiene dalla serie dei numeri naturali.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21… applicandogli particolari crivelli (filtri), insomma selezionandoli con criterio.

La prima serie di numeri fortunati che si considera di solito è quella dei numeri fortunati di Eulero: 2, 3, 5, 11, 17 e 41, ottenuti crivellando i numeri di Eulero.

Serie di numeri primi derivati dal una forma speciale del polinomio n2 + n + p, dove n=(1,2,… p-1). Questo polinomio da solo numeri primi. Quello di Eulero è il miglior polinomio conosciuto, che da solo valori primi: n2 + n + 41, con esso si ottengono 40 primi distinti per i 40 interi consecutivi da n=0 a n=39. Serie altrimenti detta i numeri di Eulero.

Il filtro

i numeri fortunati

Se torniamo a considerare la lista dei numeri naturali, il crivello consiste nel togliere il secondo numero. Di due in due tutti gli altri numeri seguenti, togliamo tutti i numeri pari insomma.

1, , 3, , 5, , 7, , 9, , 11, , 13, , 15, , 17, , 19, , 21…

Ora poiché questa lista, con i numeri pari, è infinita e rimane tale con i soli dispari, ne scriviamo solo un po’.

Proseguiamo, adesso il secondo numero è 3, eliminando tutti i numeri terzi che lo seguono.

1, , 3, , , , 7, , 9, , , , 13, , 15, , , , 19, , 21…

Proseguiamo con il seguente numero rimasto, il 7.Togliamo tutti i settimi numeri seguenti.

1, , 3, , , , 7, , 9, , , , 13, , 15, , , , , , 21…

Ripetendo la procedura restano solo i numeri fortunati, i primi che otteniamo sono:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303,…

Con questo crivello si ottiene una lista di numeri che ha molte cose in comune con la lista dei numeri primi. La loro densità è simile, ma anche la frequenza dei numeri primi gemelli è simile a quella dei numeri fortunati gemelli.

Abbiamo anche i numeri primi fortunati, sono numeri fortunati ed anche primi. I numeri fortunati son infiniti, mentre per i primi fortunati non si sa.

Giancarlo

I numeri primi sexy.

Incredibilmente esistono

I numeri primi sexy.

Non pensate subito al 77, le gambe delle donne per la smorfia napoletana o, ancora più arditamente, al 69, che chi deve capire capirà.

Beh, comunque non avreste torto sul fatto che siano primi, ma sexy no. Qui sexy non ha niente a che vedere con situazioni pecorecce o altre pruderie.

Sexy viene da sex, il nome del numero 6 nella lingua degli antichi Romani, il latino,

Beh per continuare con i doppi sensi i numeri sexy vanno sempre in coppia. Ma nella coppia c’è sempre una differenza di sex.

Nella formalizzazione matematica una coppia di numeri n adiacenti si scrive:

(n, n +1), coppie di numeri distanti sei posizioni si scrivono invece (n, n + 6), ovviamente.

Se p è un numero primo la definizione matematica della coppia di numeri primi sexy sarà la seguente:

(p, p +6), quindi la prima coppia di numeri primi sexy è (5, 11), poi (7, 13), poi (11, 17) e via.

Ancora su i numeri primi sexy.

i numeri primi sexy

Per complicarci la vita possiamo aggiungere che non esistono solo coppie di numeri primi distanti sei posizioni uno dall’altro, ma possono esserci terzine ( p , p + 6 , p + 12 ) come (7, 13, 19) o (17, 23, 29).

Ci sono quadruple i ( p , p + 6 , p + 12 , p + 18 ) come (5, 11, 17, 23), (11,17, 23, 29).

quintuple, anzi no. Di quintuple ce ne può esser solo una: (5 , 11, 17, 23, 29).

Infine

Se di tutto questo era interessante solo la definizione “sexy”, sappiate che di coppie di numeri primi ce ne sono altre.

Abbiamo i numeri primi gemelli:

Un numero primo per essere gemello di un altro deve essere minore o maggiore di una unità da quello. (p, p +2). Insomma tra i due della coppia c’è un terzo incomodo come ci ricordava Renato Zero nel “Triangolo”.

Abbiamo anche i numeri primi cugini che differiscono di quattro unità. (p, p +4). Ma tra loro la differenza di genere non è contemplata, come accade nei sexy.

E’ strano notare che se esiste un numero primo uguale a p + 2 o p + 4, esso forma una terzina di primi:

( p , p + 2 , p + 6 )

oppure

( p , p + 4 , p + 6 )

Con l’eccezione di (2, 3, 5) e (3, 5, 7) che son terzine di primi ma non possono, ovviamente rispettare la regola.

Giancarlo

Geometrie

Geometrie

Geometrie

Abbiamo detto in altri articoli che le necessità agrimensorie degli antichi Egizi hanno sviluppano la geometria occidentale. Ma in oriente, la geometria si è sviluppata per ragioni religiose.

Gli Induisti, ad esempio, costruivano altari vedici a forma di falcone stilizzato. Erano fatti di mattoni dalle geometrie particolari e i sacerdoti misuravano le dimensioni dell’altare  con l’aiuto di funi. A causa delle credenze dei “veda” di quella religione, i sacerdoti dovevano aumentare di una unità le dimensioni dell’altare ad ogni nuovo anno rituale.

Questo doveva continuare finché non si fosse aumentato di 107 volte il volume iniziale.

GeometrieEcco il falcone stilizzato: quattro quadrati per il corpo centrale, due per le ali con aggiunta di un quinto di quadrato per parte un quadrato la cosa con l’aggiunta di un decimo di quadrato il tutto per un area di 7,5 quadrati.

Naturalmente queste figure geometriche diventano cubi e parallelepipedi nella  solidità dell’altare. Non deve essere semplice aumentare di una unità il volume di un altare di area 7,5 quadrati. Ma anche se prendiamo un semplice cubo di misura 1, che avrà volume 1 cubi, non sembra facile raddoppiarlo. A meno che non gli affianchiamo un cubo uguale, nel qual caso però perdiamo la forma iniziale.

A prima vista si potrebbe pensare di raddoppiare il lato del cubo ma non funziona. Un cubo di lato doppio presenta un volume otto volte maggiore (2x2x2=8 invece di 1x1x1=1), Questo vale, in misura minore, anche per l’area, raddoppiando il lato si maggiora l’area di quattro volte.

Quindi il raddoppio è semplice solo nei segmenti, dove le misure si possono semplicemente sommare.

Come si raddoppia il quadrato

Per raddoppiare un quadrato il modo più semplice, anche avendo a disposizione solo una corda è misurare la diagonale. Con questa misura costruire un nuovo quadrato, che avrà area doppia.

GeometriePer verificarlo basta contare i triangoli

Geomerie

 

 

 

 

 

 

 

 

Altro modo di rappresentazione:GeometrieOppure

Geometrieo

Geometrie

 

 

 

Questo tipo di raddoppio ci porta a scoprire alcune proprietà del triangolo rettangolo isoscele, quello bianco in mezzo ai triangoli e quadrati a colori. Il quadrato costruito sulla sua ipotenusa uguale alla somma dei quadrati costruiti sugli altri cateti: verificate pure con i triangoli colorati. il che non è altro che l’enunciato del teorema di Pitagora, e questo è vero per tutti i triangoli rettangoli: la somma dei quadrati costruiti sui due cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa.

Come si raddoppia il cubo

Abbiamo imparato a raddoppiare il quadrato ma come possiamo raddoppiare il cubo, come richiesto poc’anzi? Bene, fin’ora abbiamo fatto tutto con la riga ed il compasso con mosse semplici ed intuitive, purtroppo questo non si può fare anche per il cubo.

Questo coinvolge anche la soluzione del teorema di Fermat, ma lo vedremo un’altra volta con altre geometrie.

Giancarlo

 

Figure geometriche, manipolandole si scopre qualcosa sui numeri.

Sempre sui numeri:

Manipolando le figure geometriche si scoprono altre caratteristiche dei numeri:

Le figure geometriche, lo studio delle loro dimensioni e i rapporti fra di loro nascono probabilmente con la necessità ricordare gli appezzamenti di terreno: la loro appartenenza o la loro posizione dopo una piena (ad esempio del Nilo), conoscerne, valutarne e riposizionarne la grandezza. Insomma il bisogno agrimensorio ha fatto nascere la geometria.

figure
Veduta dall’alto dell’esondazione del fiume Bacchiglione a Cresole di Caldogno, Vicenza. ANSA / VIGILI DEL FUOCO

L’area di un appezzamento, rettangolo, quadrato o triangolo che sia, poteva essere importante per recintarvi gli animali in numero congruo al nutrimento offerto dall’area stessa, e per questo si ritorna alla necessità di contare ed al concetto di insiemi. Ciò che si vuol contare va delimitato, ma non lo possiamo confinare a caso, gli animali devono essere in numero giusto o si disturbano o, peggio, si uccidono.

figure

Ma calcolare le grandezze dei campi, degli orti dei recinti non deve essere stato facile, ma deve essere venuto naturale quadrare queste misure, un passo in avanti, un passo di lato, un passo indietro e con l’ultimo passo siamo tornati alla partenza. Il perimetro è venuto da se; quattro passi. L’area, siccome tutti i lati sono uguali, è di un passo, un passo quadrato. Raddoppiandolo la figura da una lato il quadrato si trasforma in rettangolo e la sua area raddoppia, due passi quadrati: due passi per un passo. Facendo due passi per ogni lato è come raddoppiare dal lato lungo la figura precedente, il rettangolo torna quadrato, quindi la sua area diventa 4 passi quadrati, 2 passi quadrati + 2 passi quadrati o 2 passi per 2 passi. Dalla somma di due appezzamenti di 2 passi quadrati, siamo passati alla moltiplicazione: 2 per 2, cioè 4 passi quadrati.

Quindi il quadrato è la base di tutte le superfici, di tutte le figure geometriche e tutte vanno misurate in quadrati, ed è il padre delle quattro operazioni sui numeri.

figure https://upload.wikimedia.org/wikipedia/it/6/62/Quadratura_rettangolo.png
https://it.wikipedia.org/wiki/File:Quadratura_rettangolo.png

Quella sopra è una dimostrazione pratica di come possiamo quadrare il rettangolo di base a ed altezza b, usando la media geometrica.

Ma moltiplicando base per altezza (a*b) si ottiene lo stesso risultato.

Naturalmente se la figura geometrica non è ne quadrato ne rettangolo, cioè se non ci sono solo angoli retti tra i lati della sua figura il calcolo della quadratura non è così semplice.

Altre figure con angoli retti o meno, regolari o irregolari, sono: il triangolo, il pentagono, l’esagono, l’eptagono, l’ottagono e poligoni vari, fino ad arrivare al cerchio con un solo lato, senza linee dritte, solo una linea e curva.

Ma forse di questi altri numeri ne parleremo un’altra volta.

Avete presente l’incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato? Fu il primo caso nel quale l’incommensurabilità fu dimostrata.

Ma ne riparleremo

Ne riparleremo,

Ne.

Giancarlo

I nostri numeri.

I numeri

I nostri numeri ci accompagnano ovunque. Ci siamo talmente abituati che li usiamo anche senza pensarci. Anche nel linguaggio enumeriamo senza renderci conto di farlo.

Una volta, uno che conosco…”

“Prenda una pasticca, due volte al dì”

“Facciamo due passi assieme?”

“Piovve sette giorni su sette

Come siano nati i nostri numeri non si sa con certezza. Sicuramente la loro nascita è molto antica. Sicuramente sono un astrazione delle cose reali, per poterne parlare, per ricordarle, per pensarle. Sono stati inventati perché sono utili.

Nostri numeriPer logica il primo numero pensato dovrebbe essere stato il numero “uno”, il più semplice, la base su cui iniziare a contare e costruirci sopra tutti gli altri aggiungendo ancora uno. Ma potrebbe essere nato assieme il concetto di “molti”, “tanti”, “Numerosi”, “Mucchio”, “Branco”, “Gregge”, “Gruppo, “Famiglia” insomma il concetto di insieme, che racchiude e da cui poi si estrae l’individuo, l’unità.

Può darsi che il primo sistema di numerazione sia stato semplice, si contava uno e tanti; forse anche tantissimi (innumerevoli). Pochi avranno pensato ad un’infinità, come probabilmente nessuno pensava “nessuno”, o “niente” oppure “nulla”, concetti questi più recenti. Inizialmente avranno contato quello che vedevano attorno, forse le operazioni sui numeri si sono sviluppate comparando e valutando i cambiamenti, tante capre altrettanti sassi, poi le capre muoiono e si tolgono i sassi, ne nascono e se ne aggiungono, vien naturale sottrarre e sommare.

Poi forse si è visto visto che

con i numeri si poteva fare di più che sommare (contare) e sottrarre (contare indietro, togliere), si potevano contare anche le volte che si sommava uno stesso numero o che si sottraeva (moltiplicare e dividere), i numeri cominciarono ad essere interessanti per se stessi e se ne scoprirono molte proprietà: l’essere pari i dispari, multipli o sottomultipli, quadrati o radici di altri numeri, iniziava l’astrazione dei numeri.

nostri numeri
http://giancaarrigucci.altervista.org/Pagine_03/1979allafinedeltutto234.html
Con i nostri numeri si svilupparono anche differenti sistemi di numerazione, i più favoriti per i nostri numeri potrebbero essere stati quelli che si basano sulla nostra anatomia:

-Binario, uno, due, due e uno, due e due, due e due e uno, due e due e due, ecc. (si conta bene sinché i numeri sono piccoli)

-Usando le dita di una mano può esser stato inventato il sistema a base 5 Anche questa (finché i numeri non crescono troppo)

-Con due mani  vien bene a base 10

-Con anche le dita dei piedi si può arrivare a base 20.

Nostri numeri

La loro rappresentazione scritta o l’uso di abachi per contare è venuta molto dopo, come evoluzione dell’uso di piccoli sassi, conchiglie o semi.

I primi conti saranno stati fatti nella sabbia? O nella polvere? O su una parete rocciosa?

Forse solo nella testa dei nostri antenati.

Giancarlo

 

Link utili

Divertente storia dei numeri

Metagramma, un semplice gioco di parole.

Metagramma

Molti lo giocano, nessuno sa che il metagramma, o scala di parole, fu inventato da Lewis Carroll, l’autore di Alice nel Paese delle Meraviglie.

Per giocare a questo gioco serve solo carta e penna, si può fare anche a memoria ma occorre essere bravi. Partendo da una parola data si deve arrivare ad una seconda con alcuni passaggi intermedi. Ogni parola, le due date e quelle intermedie devono essere parole di senso compiuto presenti nel dizionario della lingua scelta. Naturalmente il gioco è più interessante se il passaggio è in qualche modo sorprendente o strano.

Carroll propose nel suo primo metagramma di passare da testa a coda (HEAD –> TAIL) per trasformare la prima parola nella seconda si devono seguire alcune regole:

  1. aggiungere una lettera
  2. togliere una lettera
  3. cambiare una lettera
  4. usare le stesse lettere in ordine diverso (anagramma)

Esistono varie versioni del gioco.

Le più comuni utilizzano solo la regola numero 3, come faceva il primo rompicapo proposto da Carroll.

H  E  A  D
h  e  a  l
T  e  a  l
T  e  l  l
T  a  l  l
T  A  I  L

Altre non permettono l’uso della regola numero 4, l’anagramma.

Il gioco, con tutte le regole applicate permette di utilizzare parole di lunghezza diversa.

Vediamo come faccia Maria ad essere in forma:

MARIA
moria (Regola 3)
mora  (regola 2)
orma  (regola 3)
FORMA (regola 1)
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Sarà possibile andare da VELIERO a ROMEO? Magari passando prima dal VOMERO!

Uno semplice, inventato da me, che non so se rientra nei canoni.

Trasformare un orso bianco in uno bruno:

Bianco

fianco

franco

branco

brano

bruno.

Si potrebbe anche fare meglio passando da rosso a nero, senza bisogno dell’orso.

Rosso

roso

reso

peso

pero

nero.

 

Mah! Forse dovrei ammettere che certi giochini non sono per me e cercare di fare altro.

Sì, farò altro.

 

Giancarlo

 

 

Fonte

Wikipedia

Il gioco del cento, un bel gioco matematico

Il gioco del cento.

Il gioco del cento è un giochetto matematico interessante.

La versione base è molto semplice, altri tipi sono più complessi ma la logica è sempre la stessa.

Gioco del cento

Si gioca in due, non serve niente altro per giocare.

A turno i giocatori dicono un numero, vince chi dice cento.

Naturalmente il primo giocatore non può dire cento, non ci sarebbe gioco. Il secondo giocatore deve dire un numero superiore al primo ma di non più di dieci numeri, le giocate successive rispettano la stessa regola. Solo il primo giocatore con la prima mossa può dire un numero da 1 a 10, non essendoci state giocate precedenti.

E’ un gioco finito ad informazione perfetta, che permette di adottare una strategia vincente.

Soddisfa il teorema di Kuhn, per cui andando a ritroso si può scoprire quale sia la strategia vincente.

Come si fa? Andando a ritroso scopriamo quale possa essere il penultimo numero del primo giocatore:

100-1-10= 89

Se il primo giocatore arriva a dire 89 il secondo deve aggiungere almeno 1 ed il primo può dire 100 e vincere. Togliendo 11 ad ogni mossa precedente si arriva a 1.

89-11=78

78-11=67

67-11=56

56-11=45

45-11=34

34-11=23

23-11=12

12-11=1

Quindi 1 è la strategia vincente del primo giocatore, se dice 1 e successivamente, indipendentemente dal numero pronunciato dal secondo giocatore, dirà 12, poi 23 ecc. fino a 100, vincerà sicuramente.

Il primo giocatore vince sempre.

Cento

Se diamo come limite 99, cioè decidiamo che vince chi si avvicina di più a cento, senza dirlo, cento perde, basterà dire 11 per vincere, siccome il primo giocatore non può dirlo vince il secondo con: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77,88, 99.

Il secondo giocatore vince sempre,

Bello vero?

Le altre varianti sono lunghe da spiegare e vi annoierei.

Giancarlo

 

 

 

La Bellezza, che cosa è la bellezza

La Bellezza

Cos’è la bellezza?

La bellezza è oggettiva, è una qualità intrinseca delle cose, della loro rappresentazione bi, tri o pluridimensionale, derivante dalle proporzioni tra le parti degli oggetti. La bellezza è anche soggettiva, nel senso che queste proporzioni devono essere colte, e lo sono senz’altro, dai nostri occhi, dalla nostra vista. Questa azione, questo sentimento ci permette di riconoscere il bello, di affermarlo, di apprezzarlo. Ma la bellezza è, comunque, oggettiva un oggetto, una formula, una musica è bella indipendentemente dal fatto che noi la percepiamo e possiamo ammirarne la bellezza. Rispetta comunque delle proporzioni che la fanno bella.

Il gusto

e il piacere nel vedere, sentire, annusare qualcosa è soggettivo e ci porta ad avere diversi concetti del bello, mode, tendenze che prima o poi potranno anche invertirsi; ma il bello non sarà mai brutto ne il brutto bello.

Allora

l’artista (pittore, scultore, musicista..), il costruttore (architetto, progettista, muratore, falegname, fabbro, vasaio…) lo scienziato (matematico, chimico, fisico…), il pensatore, (poeta, filosofo, scrittore…), l’uomo o la donna devono fare cose proporzionate per essere belle. Per chi, come il pittore o il fotografo, riprende solo una parte del tutto, conterà anche l’inquadratura, la composizione, il tono…ma se quello che fa è brutto, si percepirà subito, inequivocabilmente.

LA bellezza modigliani la bellezza la_nascita_di_venere_botticelli

La sezione aurea

è la dimostrazione migliore della bellezza nelle proporzioni. E’ una sezione, è come vediamo il mondo, le sue proporzioni sono quelle delle cose del mondo e noi le vediamo così, e quando le vediamo così si rivelano belle, sono belle.

Quindi la sezione aurea o rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o proporzione divina, come viene anche indicata, è qualcosa di concreto, di razionale? Di concreto s=! Ma si tratta di un numero irrazionale 1,61… In un bel segmento è il rapporto fra due sue parti, una più lunga ed una più corta. Allora il rapporto fra la lunghezza totale del segmento C e la sua parte più lunga A è uguale al rapporto fra la sua parte più lunga A e la sua parte più corta C, questo rapporto è costante e vale 1,61…

Il rapporto

vale anche se si aumenta una dimensione e il segmento diventa un rettangolo. Somma di due rettangoli uno con un lato più lungo ed uno con il lato più corto (questi lati sono costruiti sulla base più lunga del rettangolo di partenza). C’è una speciale costruzione del rettangolo aureo che potrete vedervi da soli. Comunque questa superficie è l’ideale per vederci il mondo e le sue cose, nelle giuste proporzioni.

Quindi la bellezza è un  numero, è matematica? Si perché quel numero rappresenta una proporzione e se qualcosa è ben proporzionato è bello.

Si potrebbe ribaltare anche l’affermazione e dire che se qualcosa è bella è ben fatta. Quindi non c’è bisogno di null’altro che di estetica e si può fare tutto.

la bellezza 800px-montisi_porta_nord-orientale_arco
Se tutto è proporzionato, non c’è bisogno di architetto o di geometra l’arco reggerà il muro soprastante e sarà pure bello, se è bello reggerà. By Pufui Pc Pifpef I (Own work) [Public domain], via Wikimedia Commons
La bellezza colosseum_in_rome_italy_-_april_2007
E’ bello? Infatti è arrivato fino a noi. Il Colosseo e Roma, Italia Diliff – Opera propria CC BY-SA 2.5

Un esempio

posso riportarlo (da wikipedia) riguardante l’Egitto.

Sulla sezione aurea, nella Piramide di Cheope, nella piana di Giza e unica delle sette meraviglie ad essere giunta fino a noi intatta.

Il rapporto aureo sussisterebbe in questo caso fra il semilato della piramide e l’altezza della facciata triangolare costruibile sulla stessa. ll che porterebbe a un’inclinazione teorica della facciata pari a 51° 49′ circa. La piramide reale ha un’altezza totale di circa 147 m e lati di 230 m, con una inclinazione della pareti di 51° 50′ 35″. Estremamente simile all’inclinazione teorica, e difatti, esplicitando i conti, tra il semilato e l'”altezza” reali:

{186{,}64\,m \over 115\,m}=1{,}6229

Non è 1,61… ma molto vicino e la Piramide è bella, nessun dubbio, tanto da essere considerata una delle sette meraviglie.

Non solo le linee e quadrati possono inglobare la costante aurea. Ci sono anche triangoli aurei, con i quali si può rappresentare, costruire, disegnare, un pentagono regolare o una stella a cinque punte regolare.

Fu scoperto

un modo, non artistico, non figurativo, di rappresentare una serie di rapporti aurei, da un certo Fibonacci che creò la prima successione ricorsiva, conosciuta poi col termine di successione o serie di Fibonacci,

1,1,2,3,5,8…

in cui ogni termine è la somma dei due precedenti ed ogni termine sta al successivo, approssimativamente secondo la costante aurea, cioè moltiplichi un numero della serie per 1,61… ed ottieni approssimativamente il prossimo.

La bellezza piero_della_francesca_044
Chi può dire che non sono belli? Una donna e un uomo, moglie e marito, potenti, che sfoggiano la ricchezza che deriva dal loro potere. Piero della Francesca, Doppio ritratto dei Duchi d’Urbino Piero della Francesca – The Yorck Project: 10.000 Meisterwerke der Malerei. DVD-ROM, 2002. ISBN 3936122202. Distributed by DIRECTMEDIA Publishing GmbH. Pubblico dominio File:Piero della Francesca 044.jpg Creato: 1 gennaio 1465

Vi ho convinto?

Spero di si.

Non è bello ciò che piace ma è bello ciò che è bello.

E’ la sintesi di tutto quello che ci siamo detti.

Giancarlo