Numeri perfetti
Cosa esprime perfezione nei cosiddetti numeri perfetti?
Non è la bellezza estetica ma la perfezione ideale.
Un numero è perfetto se la somma dei suoi divisori rende il numero stesso.
Non è stato sempre così, per Speusippo, un filosofo Greco nipote di Platone, un numero perfetto diceva che per i Pitagorici 10 era il (solo) numero perfetto. Esso aveva un numero pari di numeri primi (2, 3, 5 e 7)e non primi (4, 6,8 e 9) nella sequenza da 1 al numero stesso.
I Pitagorici hanno poi allargato la loro idea di perfezione includendo i numeri amicali e quelli socievoli (Nicomaco).
I numeri con la somma dei divisori diversa dal numero stesso si definiscono abbondanti o difettivi.
Ma vediamo i numeri perfetti
Il primo è il 6.
I divisori di 6 sono 1, 2 e 3, sommandoli si ottiene ancora 6.
Il secondo perfetto è 28, i cui divisori sono 1, 2, 4, 7 e 14.
Il terzo non è così vicino ai primi due: 496: diviso da 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 e 248.
La formula dei numeri perfetti è la seguente: 2n−1∗(2n –1) dove (2n –1) è un numero primo di Mersenne.
6 si ottiene con la potenza di 2:
22-1 * (22-1) = 21 * (4-1) = 2*3=6.
Ogni numero perfetto pari è anche:
è anche un numero pratico.
Non si sa se i numeri perfetti continuino all’infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.
Infatti, da 2n-1 × (2n − 1) si ha che: 2n-1 è pari e termina per 2, 4, 8, 6;
(2n − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.
La cifra finale ‘5’ va scartata perché sappiamo che (2n − 1) dev’essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.
Giancarlo
